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Unfairer Münzwurf
Universität / Fachhochschule
Verteilungsfunktionen
Tags: unfairer Münzwurf, Verteilungsfunktion, Zufallsvariabel
 
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Kann mir einer bei der folgenden Aufgabe einen Ansatz geben? Ich werfe unabhängig voneinander eine unfaire Münze. Die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ ist dabei . Ich soll nun die Verteilung des ersten Zeitpunktes, zu dem ich mal „Kopf“ gesehen habe, angeben. Wie fang ich denn überhaupt an? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, du musst dir überlegen, wie die Wahrscheinlichkeit ist, dass du nach Würfen, mal Kopf und mal Zahl geworfen hast. Wieviele Kombinationsmöglichkeiten gibt es? Stichwort: Binomialkoeffizient. Wie sieht der Term aus? Dann wirfst du als letztes noch mal Kopf. Wie sieht jetzt aus? Auf jeden Fall ändert sich nicht der Binomialkoeffizient. Gruß pivot |
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Das mit dem Binomialkoeffizienten hatte ich mir auch schon überlegt. Wieso gehe ich denn erstmal nur von n-1 Würfen aus und nicht direkt von n Würfen? Der Binomialkoeffizient wär doch dann n-1 über r-1 oder? |
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Wieso gehe ich denn erstmal nur von Würfen aus und nicht direkt von Würfen? Weil es nicht darum geht, innerhalb von Würfen genau Köpfe zu werfen, sondern darum, mit dem n-ten Wurfe gebau den r-ten Kopf zu werfen. Damit das der Fall ist, müssen innerhalb der vorangegangenen Würfen genau Köpfe geworfen worden sein UND der letzte, der n-te Wurf muss Kopf sein. |
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Genau. Und wie sieht jetzt bzw. aus? |
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Jetzt habe ich schonmal den Sinn hinter allem verstanden! Ist dann und analog ? |
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Das ist halt das Problem, wenn man irgendwelche Buchstaben verwendet, ohne deren genaue Bedeutung anzugeben. Was genau soll den diese Zufallsvariable beschreiben? Ich vermute, dass bei pivot das bei eine andere Bedeutung haben soll wie bei . Wenn die Anzahl der Köpfe bei Würfen bedeuten soll, dann ist dein richtig. Soll hingegen die Anzahl der Köpfe bei Würfen bedeuten, dann ist dein richtig. Es gibt aber keine Bedeutung von bei der beide deine Ausdrücke richtig wären und dummerweise ist in der Aufgabe weder das eine, noch das andere gefragt. Dein mit der oben angegebenen Bedeutung von kann aber zur Berechnung der tatsächlich gesuchten WKT sehr hilfreich sein. Vielleicht möchtest du dir die gegebenen Antworten nochmals in Ruhe durchlesen und überlege dir vl auch die rechnerische Bedeutung meines absichtlich in Großbuchstaben geeschriebenen "UND". |
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In der Aufgabe steht leider auch nichts von X oder wie es definiert ist. Kann ich denn dann nicht einfach eine zweite Zufallsvariable Y definieren und dann berechnen. Am Ende berechne ich dann nur noch ? |
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Kannst du alles machen. Du musst nur genau angeben, was du jeweils mit oder meinst. Die Festlegung der Bedeutung der von dir gewählten (Hilfs-)Zufallsvariablen liegt allein bei dir. Die Zufallsvariable aber, für die du die Verteilung angeben sollst, hat die Bedeutung "Nummer des Wurfs, bei dem der r-te Kopf geworfen wird". Klarerweise wird diese Zufallsvariable Werte von bis annehmen können und du sollst eben für jeden Wert die WKT angeben - damit ist die Verteilung definiert. |
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Ist also die Lösung der Aufgabe z.B.: Sei X die Anzahl der Köpfe bei n-1 Würfen, Y die Anzahl der Köpfe bei n Würfen und Z die Nummer des Wurfs, bei dem der r-te Kopf geworfen wird. Es gilt und dann die Verteilungen von oben einfach multiplizieren? |
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P(Z)=P(X=r−1)P(Y=r) Nein, das wäre falsch! Und mit meinst du ja eigentlich . Was hat aber dein mit deiner Aufgabe zu tun? Ich habe nach meinem "UND" geschrieben "der letzte, der n-te Wurf muss Kopf sein.". Das ist nicht das gleiche wie "r Köpfe irgendwo bei Würfen". Wie große ist also die WKT, dass der n-te Wurf auf Kopf landet? |
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Die Wahscheinlichkeit, dass der n-te Wurf Kopf ist, liegt doch bei 0,5. Also rechne ich P(Z=n)=P(X=r-1)/2? |
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Nur fast richtig ;-) Es handelt sich schließlich um eine "unfaire" Münze. Also ersetze dein durch und wir haben es. |
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Ach ja, das hab ich jetzt übersehen. Vielen Dank für deine Hilfe!!! |
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