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Ungleichung

Schüler Sonstige,

Tags: Betrag, Bruch, Ungleichung

Pir4nh4 aktiv_icon

08:32 Uhr, 10.01.2025

kann mir das jemand erklären.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

calc007

08:53 Uhr, 10.01.2025

Hallo
Ich würde empfehlen, Schritt für Schritt vorzugehen.
Du kannst die Aufgaben-Relation ja in zwei Teil-Relationen aufteilen:

a .)

x < \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}

b .)

| 2 - 2 \cdot x | < x

. .

. schon wird's ein wenig übersichtlicher.

zu

a .)

x < \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}

Na, ist das schwer?
Brauchst du wirklich noch einen Tipp?
Dann - würde ich: ganze Relation minus

\frac{1}{2} \cdot x

grafisch:
Kannst du den Wert des links-seitigen Ausdrucks mal in ein Koordinatensystem skizzieren.
f_links(x)

= x

Kannst du den Wert des links-seitigen Ausdrucks mal in ein Koordinatensystem skizzieren.
f_rechts(x)

= \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}

Na, wo sind die links-seitigen kleiner als die rechts-seitigen?

zu

b .)

| 2 - 2 \cdot x | < x

Wo ist die Grenze zwischen positiven und negativen Betrags-Argumenten?
Wo ist der Ausdruck im Betrag (das Betrags-Argument) positiv?
Wo ist der Ausdruck im Betrag (das Betrags-Argument) negativ?

grafisch:
Kannst du den Wert des links-seitigen Ausdrucks mal in ein Koordinatensystem skizzieren.
f_links(x)

= | 2 - 2 \cdot x |

Kannst du den Wert des links-seitigen Ausdrucks mal in ein Koordinatensystem skizzieren.
f_rechts(x)

= x

Na, wo sind die links-seitigen kleiner als die rechts-seitigen?

KL700 aktiv_icon

08:57 Uhr, 10.01.2025

´2 Ungleichungen bilden und lösen:

| 2 x + 2 | < x

Fallunterscheidung:

a) x \geq - 1

b) x < - 1

x < \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}

Vereinige dann die Lösungsmengen.

HAL9000

14:29 Uhr, 10.01.2025

Fangen wir gleich mit 2. an:

a)

∣ - 2 x + c ∣ < x

ist gleichbedeutend mit

- x < - 2 x + c < x

, umgeformt

\frac{c}{3} < x < c

, was nur für

c > 0

die nichtleere Lösungsmenge

(\frac{c}{3}, c)

ergibt.

b)

x < \frac{1}{2} x + \frac{1}{c}

ergibt umgeformt

x < \frac{2}{c}

und damit die Lösungsmenge

(- \infty, \frac{2}{c})

Für die Doppelungleichung ergibt das Lösungsmenge

L = (\frac{c}{3}, c) \cap (- \infty, \frac{2}{c}) = {\begin{array}{ll} (\frac{c}{3}, c) & für 0 < c < \sqrt{2} \\ (\frac{c}{3}, \frac{2}{c}) & für \sqrt{2} \leq c < \sqrt{6} \\ \emptyset & sonst, wobei Parameter c = 0 nicht erlaubt ist \end{array}

HAL9000

10:06 Uhr, 15.01.2025

Mal eine Frage an die Forumbetreiber: Was bewirkt, dass dieser Thread mehrfach nach vorn gerutscht ist (aktuell stand da "vor 1 Std"), obwohl seit 5 Tagen kein neuer Post erschienen ist und ich als letzter Poster ihn auch nicht editiert hatte?

Und der Thread zudem garniert war mit "Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat."

mathadvisor aktiv_icon

12:44 Uhr, 15.01.2025

Ich hatte auf die falsche Antwort von KL700 hingewiesen, dieser Hinweis wurde aber - von wem auch immer - gelöscht, und diese Löschung bewirkte auch Aktualisieren der letzten Aktivität und damit das Hochrutschen. Das war nach Deinem vorigen Post "Fangen wir gleich...", aber noch vor der Garnierung mit kein Interesse mehr.

HAL9000

13:18 Uhr, 15.01.2025

Ja, seltsam: Das falsche

∣ 2 x + 2 ∣ < x

∣ - 2 x + 2 ∣ < x

zu korrigieren sollte doch ein legitimes Anliegen sein.

Pir4nh4 aktiv_icon

07:52 Uhr, 17.01.2025

Vielen Dank für die Hilfe! Tut mir leid das ich erst jetzt wieder reagiere aber es war mir zeitlich nicht möglich.

Ich konnte die Aufgabe mit eurer Hilfe nachvollziehen... bis auf

L=

{

█((c/3,c) für 0<c<√2@(c/3,2/c) für √2≤c< √6@c≠0)┤

wo kommen die Bedingungen für

0 < c <

Wurzel 2 und
für Wurzel 2 kleiner gleich

c

kleiner Wurzel 6

HAL9000

09:42 Uhr, 17.01.2025

Der Wert für den rechten Intervallrandpunkt ist wegen des Intervalldurchschnitts gleich

min {c, \frac{2}{c}}

. Je nach Wert von

c

ist das mal der eine, mal der andere Term, und das lässt sich genau feststellen:

Es ist

\frac{2}{c}

, wenn

c \geq \frac{2}{c}

gilt, was für

c > 0

umgestellt bedeutet

c^{2} \geq 2

bzw. eben

c \geq \sqrt{2}

. Im anderen Fall

c < \sqrt{2}

ist das Minimum dann eben

c

.

Ok, wir haben also festgestellt, dass im Fall

c \geq \sqrt{2}

das Lösungsintervall

(\frac{c}{3}, \frac{2}{c})

ist - aber nur dann, wenn für die Intervallgrenzen auch wirklich

\frac{c}{3} < \frac{2}{c}

gilt. Diese Bedingung umgestellt ergibt

c^{2} < 6

, also

c < \sqrt{6}

.

P.S.: Für das andere Intervall

(\frac{c}{3}, c)

im Fall

0 < c < \sqrt{2}

existiert letzteres Problem nicht: Da ist stets

\frac{c}{3} < c

Pir4nh4 aktiv_icon

16:50 Uhr, 17.01.2025

Danke mal wieder für den schnellen Versuch mir das zu erklären. Vielleicht bin ich zu blöd oder mich verwirrt das

c

zu sehr... kann ich für

c

auch

y

nehmen um das ganze grafisch in einem Koordinatensystem darzustellen? Oder ist das hier bei der zwei nicht möglich?

HAL9000

17:45 Uhr, 17.01.2025

In der Grafik habe ich die Lösungsmenge abgebildet: D.h. die

(c, x)

im Inneren der umrandeten Fläche kennzeichnen die Lösungen

x

der Ungleichung für Parameter

c

Pir4nh4 aktiv_icon

09:33 Uhr, 18.01.2025

Danke für das veranschaulich machen. Ich blick trotzdem nicht wie die lösungsmengen jetzt diese Grafik ergebn. Also

\frac{c}{3}, c

ist die untere gerade wenn

c > 0

? Und die obere gerade aber das

\frac{c}{3}, \frac{2}{c}

sehe ich nicht wirklich müsste ja dann die obere sein oder? Und die Verbindung dann die wurzel 6 bzw. Wurzel 6 Geschichte oder?

HAL9000

11:08 Uhr, 18.01.2025

Ich wiederhole es nur noch einmal:

> die

(c, x)

im Inneren der umrandeten Fläche kennzeichnen die Lösungen

x

der Ungleichung für Parameter

c

.

Kann doch nicht wahr sein, dass eine Skizze zur Veranschaulichung der bereits seit einer Woche hier im Thread stehenden Lösungsformel zig neue Fragen generiert. Denk doch auch mal selbständig nach. :(

Pir4nh4 aktiv_icon

17:47 Uhr, 18.01.2025

Ich verstehe es halt nicht! Und wenn du keine lust hast zu helfen dann lass es doch einfach. Was ist das Problem das der Beitrag eine Woche alt ist? Hatte doch gesagt das ich leider nicht konnte. Vielleicht findet sich ja noch jemand der es mir anders erklären kann die Lösung ist mir erstmal egal ich will es verstehen das ich andere Aufgaben selber lösen kann ohne die Zeit von anderen in Anspruch nehmen zu müssen.

HAL9000

15:05 Uhr, 19.01.2025

> Ich verstehe es halt nicht! Und wenn du keine lust hast zu helfen dann lass es doch einfach.

Leider kann man nicht vorher wissen, auf einen zu treffen, der sich so gar keine Mühe gibt

^{*}

und jede Hilfe und selbst kleinteilige Zusatzerklärungen ignoriert. In Zukunft werde ich das berücksichtigen und meine Zeit nicht an dich verschwenden.

^{*}

liegt vielleicht daran, dass die Hilfe hier nichts kostet und daher Leute wie du meinen, sie sei auch nichts wert.

calc007

15:55 Uhr, 19.01.2025

Hallo
Aus "ich verstehe nicht" lässt sich leider nur schwer erahnen, wo's denn wirklich klemmt.
Wenn du mal auf die Vorschläge näher eingehen würdest, dann könnte man gewiss auch besser zielgerichtet noch auf's Pferd heben.
Vorschlag (wie schon mal):
Gehen wir doch Schritt für Schritt vor.

zu

2 . a)

linker Teil:

| - 2 \cdot x + c | < x

2 . a . 1) :

Annahme, das Betrags-Argument

(- 2 \cdot x + c)

sei größer als Null.

(- 2 \cdot x + c) > 0

Dann kannst du die Betragsstriche weglassen:

- 2 \cdot x + c < x

Was kriegst du dann für

x

raus?

2 . a . 1) :

Annahme, das Betrags-Argument

(- 2 \cdot x + c)

sei kleiner als Null.

(- 2 \cdot x + c) < 0

Wie gehst du dann mit der Betrags-Relation um?
Vorschläge?
Was kriegst du dann für

x

raus?

zu

2 . b)

rechter Teil:

x < \frac{x}{2} + \frac{1}{c}

Was kriegst du hierfür für

x

raus?

Pir4nh4 aktiv_icon

07:18 Uhr, 20.01.2025

So weit bin ich.verstehe allerdings nicht wie mann auf die Wurzeln kommt und wie diese dann zur Grafischen lösung führen.

Pir4nh4 aktiv_icon

07:21 Uhr, 20.01.2025

Hat mit dem Bild nicht geklappt.

Pir4nh4 aktiv_icon

07:25 Uhr, 20.01.2025

kann das bild nicht einfügen dann so

2 a) 1

. Fall

\frac{c}{3} < x 2

. Fall

x < c 2 b) x < \frac{2}{c}

calc007

09:08 Uhr, 20.01.2025

Na ja, wenn du gelegentlich einen Absatz nutzen würdest, könnte man's vielleicht auch unmissverständlicher lesen.

Ich fasse mal übersichtlicher zusammen:

2 . a . 1) x > \frac{c}{3}

2 . a . 2) x < c

2 . b) x < \frac{2}{c}

Jetzt schlage ich vor, dass du das mal in ein Koordinatensystem einträgst, jetzt eben mit den Koordinatenachsen

x

und

c

.
Wie sieht die Grenzlinie

2 . a . 1) x = \frac{c}{3}

aus?
Auf welcher Seite liegt dann

x > \frac{c}{3}

?

Wie sieht die Grenzlinie

2 . a . 2) x = c

aus?
Auf welcher Seite liegt dann

x < c

?

Wie sieht die Grenzlinie

2 . b) x = \frac{2}{c}

aus?
Auf welcher Seite liegt dann

x < \frac{2}{c}

Pir4nh4 aktiv_icon

09:35 Uhr, 20.01.2025

Also

a)

Fall 1

- 2 x + c < x

hier plus

2 x

c < 3 x

hier durch 3

\frac{c}{3} < x

a)

Fall 2

+ 2 x - c < x

hier minus

2 x

- c < - x

hier mal

- 1

x < c

L = \frac{c}{3} < x < c

b)

x < \frac{1}{2} x + \frac{1}{c}

hier minus

\frac{1}{2} x

\frac{1}{2} x < \frac{1}{c}

hier mal 2

x < \frac{2}{c}

calc007

10:29 Uhr, 20.01.2025

Jetzt schlage ich vor, dass du das mal in ein Koordinatensystem einträgst, jetzt eben mit den Koordinatenachsen

x

und

c

Pir4nh4 aktiv_icon

11:09 Uhr, 20.01.2025

Alles klar, hab ich gemacht. Sieht wie oben aus! jetzt müsste meine Lösungsmenge für alles zusammen doch:

L = \frac{c}{3} < x < c < \frac{2}{c}

wobei ich mir ja dann das eine

< c

sparen könnte

also

L = \frac{c}{3} < x < \frac{2}{c}

wenn

c

nicht 0 und

c > 0

calc007

11:55 Uhr, 20.01.2025

"wobei ich mir ja dann das eine

< c

sparen könnte"
Wenn deine Skizze anschaulich wie die von HAL aussieht,
dann sollte man sehen, dass die Lösungsmenge von DREI Linien gemäß DREI Grenzgleichungen / Relationen begrenzt wird.
Ich wüsste nicht, was man da "sparen" könnte.

Pir4nh4 aktiv_icon

12:40 Uhr, 20.01.2025

Alles klar danke. Vielen Dank an alle Helfer!

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