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Ungleichung

Schüler Ausbildungsstätte,

Tags: Bernoullische Ungleichung, Ungleichung

SoNyu

20:24 Uhr, 22.06.2013

Ich habe gerade hier meine Frage etwas ausführlicher beschrieben, und als ich dann die Frage eintragen wollte war mein Internet weg und alles war weg. :(

Hier also die kurz Fassung:

Folgende Aufgabe:

{(1 + \frac{1}{n - 1})}^{n} > {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}

Als Hinweis habe ich gegeben:

Zeige, dass die Behauptung gleichbedeutend mit der Aussage

{(1 + \frac{1}{n^{2} - 1})}^{n} > 1 + \frac{1}{n}

ist.
Deren Richtigkeit erkennt man mittels der Bernoullischen Ungleichung.

Ich habe nun die rechte Seite folgendermaßen abgeschätzt:

{(1 + \frac{1}{n - 1})}^{n} > {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}

{(1 + \frac{1}{n - 1})}^{n} > {(1 + \frac{1}{n})}^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n})

{(1 + \frac{1}{n - 1})}^{n} > {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

{(1 + \frac{1}{n - 1})}^{n} > 1 + \frac{1}{n}

Das erhält ja alles die Ungleichung, ich verringere ja bloß die rechte Seite, oder kann ich das so nicht machen?

Die Bernoullische Ungleichung besagt ja, dass

(1 + x)^{n} > 1 + n x

Im gegebenem Hinweis hat man im Nenner ja noch mit

(n + 1)

multipliziert (Dritte binomische Formel). Diese Umformung vergrößert ja den Nenner, wodurch der Bruch allgemein kleiner wird. Darf ich trotzdem so einfach umformgen, weil die Ungleichung ja trotzdem erhalten bleibt, da ja potenziert wird? Die Richtigkeit könnte ich ja leicht durch eine Beispielrechnung zeigen. Das es dann auch für größere n-Wert gilt ist klar.
Jedoch verstehe ich nicht wie man hier nun die Bernoullische Ungleichung anwendet.

Dazu bräuchte ich ja diese Form:

{(1 + \frac{1}{n^{2} - 1})}^{n} > 1 + \frac{n}{n^{2} - 1}

Hier würde ich dann die rechte Seite ebenfalls dementsprechend verändern. Die Ungleichung bliebe zwar erhalten, jedoch weiß ich nicht wie ich dies zeigen kann, ohne wie oben bereits notgedrungen zu argumentieren. Eine Beispielrechnung durchzuführen halte ich nämlich für etwas schwach.

Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

SoNyu

13:31 Uhr, 23.06.2013

Niemand ne Idee?

anonymous

17:00 Uhr, 23.06.2013

entfällt

SoNyu

17:03 Uhr, 23.06.2013

Zur Erinnerung:

"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Außerdem hast du meine oben formulieren Fragen nicht beantwortet. Deine Antwort ist Wertlos.

anonymous

17:06 Uhr, 23.06.2013

SoNyu

17:20 Uhr, 23.06.2013

Nächste mal einfach auf die Fragestellung achten, oder es einfach bleiben lassen.

Nicht jeder Fragesteller hier zielt einfach auf ne komplett Lösung ab. Manche fragen hier auch um was zu lernen.

Danke für die Aufmerksamkeit.

anonymous

18:16 Uhr, 23.06.2013

(1 + \frac{1}{n - 1})^{n} > (1 + \frac{1}{n})^{n + 1}

(1 + \frac{1}{n^{2} - 1})^{n} > 1 + \frac{1}{n}

Wenn bei Ausdrücke bewiesen sind, kann man sie als gleichbedeutend betrachten, oder.

SoNyu

18:51 Uhr, 23.06.2013

Nur wie beweise ich, dass beide Ausdrücke gleichbedeutend sind.

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21:45 Uhr, 23.06.2013

Zunächst:
Die Abschätzungen, die Du ganz oben nach
"Ich habe nun die rechte Seite folgendermaßen abgeschätzt:"
gemacht hast, sind genau in die falsche Richtung, nämlich von oben nach unten folgend.
Wenn Du unten etwas hättest, was immer stimmt, dann müsstest Du ja von unten nach oben folgern, um daraus die Behauptung zu zeigen.

Aber es ist ja eine Anleitung gegeben!
Ich schreibe die Behauptung und die Hilfsaussage anders:
Behauptung:

{(\frac{n}{n - 1})}^{n} > {(\frac{n + 1}{n})}^{n + 1}

und
Hilfsaussage:

{(\frac{n^{2}}{n^{2} - 1})}^{n} > \frac{n + 1}{n}

Jetzt sollte die von Dir erkannte 3. binomische Formel die Äquivalenz der beiden Ungleichungen zeigen...

SoNyu

23:10 Uhr, 23.06.2013

Ich sehe leider nicht, wie ich hier nun die dritte binomische Formel anwenden kann...

{(\frac{n^{2}}{n^{2} - 1})}^{n} > \frac{n + 1}{n}

Hat es vielleicht etwas damit zu tuen, dass man links sogesehen mit dem Kehrwert von Rechts erweitert hat?

Also:

\frac{n}{n - 1} \cdot \frac{n}{n + 1}

Wenn ich das mit den Abschätzungen nun richtig verstanden habe, dann habe ich die rechte Seite ja nach unten abgeschätzt. Ich hätte sie jedoch nach oben abschätzen müssen?

Was bedeutet den die Äquivalenz von Ungleichungen konkret?

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23:39 Uhr, 23.06.2013

Ja,

{(\frac{n}{n - 1} \cdot \frac{n}{n + 1})}^{n},

der erste Faktor kommt auf der linken Seite der zu beweisenden Ungleichung vor.
Bringe den Rest auf die andere Seite...
Äquivalenz von Ungleichungen bedeuted, dass die eine genau dann gilt, wenn die andere gilt (genau wie bei Gleichungen).

Zu den Abschätzungen:
Richtig, wenn Du die rechte Seite der Behauptung nach oben so abschätzen kannst, dass das Vergrößerte immer noch kleiner als die linke Seite ist, dann hast Du gewonnen.
Allerdings ist es natürlich schnell passiert, dass man zuviel vergrößert und (für bestimmte

n)

oberhalb der linken Seite landet!

SoNyu

00:34 Uhr, 24.06.2013

Ich verstehe nicht ganz was du damit meinst den Rest auf die andere Seite zu bringen.

Ich habe nun also die linke Seite von

{(\frac{n}{n - 1})}^{n}

auf

{(\frac{n^{2}}{n^{2} - 1})}^{n}

abgeschätzt.

Und die rechte Seite von

{(\frac{n + 1}{n})}^{n + 1}

auf

\frac{n + 1}{n}

abgeschätzt.

Den Faktor

\frac{n}{n + 1}

erhalte ich indem ich mit

\frac{n + 1}{n}

"rüber dividiere". Wobei das nicht so zu verstehen ist wie beim umformen von Gleichungen. Das wäre ja keine erlaubte Rechenoperation.
Da ich jedoch nur abschätze kann ich das machen? Ich verstehe das nicht so wirklich.

Könntest du das ein wenig näher erläutern?

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01:23 Uhr, 24.06.2013

Hier soll (zunächst) nicht abgeschätzt werden, sondern es sollen Äquivalenzumformungen gemacht werden, genau wie bei Gleichungen.

{(\frac{n}{n - 1})}^{n} \cdot {(\frac{n}{n + 1})}^{n} > \frac{n + 1}{n} | : {(\frac{n}{n + 1})}^{n}

\Leftrightarrow {(\frac{n}{n - 1})}^{n} > \frac{n + 1}{n} \cdot {(\frac{n + 1}{n})}^{n}

\Leftrightarrow {(\frac{n}{n - 1})}^{n} > {(\frac{n + 1}{n})}^{n + 1}

Damit ist die Äquivalenz gezeigt.
Jetzt nur noch Anwendung der Bernoullischen Ungleichung und eine kleine Abschätzung.

SoNyu

01:43 Uhr, 24.06.2013

Ah, logisch.

Ich habe von Anfang an irgendwie viel zu kompliziert gedacht. Ich hätte ja einfach ganz normal erstmal umformen können um diese Form zu erhalten.
Okay, jetzt leuchtet mir das ein. Danke.

Ich habe jetzt also folgendes:

{(1 + \frac{1}{n^{2} - 1})}^{n} > 1 + \frac{1}{n}

Ich bin hier zu der ursprünglichen Schreibweise zurückgekehrt.

Die Bernoullische Ungleichung besagt nun:

(1 + x)^{n} > 1 + n x

x = \frac{1}{n^{2} - 1}

Ich muss also die rechte Seite auf

{(1 + \frac{1}{n^{2} - 1})}^{n} > 1 + \frac{n}{n^{2} - 1}

abschätzen, damit ich die Bernoullische Ungleichung anwenden kann, oder?

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01:50 Uhr, 24.06.2013

Ich denke, Du meinst das genau richtig.

Ich würde es so ausdrücken:

{(1 + \frac{1}{n^{2} - 1})}^{n} > 1 + \frac{n}{n^{2} - 1}

gilt wegen der Bernoullischen Ungleichung.
Jetzt kann die rechte Seite noch leicht nach unten abgeschätzt werden, so dass die behauptete Hilfsungleichung gezeigt ist.

SoNyu

02:05 Uhr, 24.06.2013

Okay, das Problem ist wie ich zeige, dass die Ungleichung nach der Abschätzung erhalten bleibt.

Wie kann ich das am besten Begründen?

Ich könnte ja durch vollständige Induktion zeigen, dass

\frac{n}{n^{2} - 1} > \frac{1}{n}

Habe ich es richtig verstanden, dass ich, wenn ich abschätzen möchte, ich hier nach oben abschätzen muss?

Edit: Ich bin jetzt aber auch erstmal schlafen. Ich melde mich dann heute mittag wieder.

Vielen Dank schon mal für die Hilfe.

:-)

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02:33 Uhr, 24.06.2013

Nein, alles viel zu kompliziert!
Wahrscheinlich braucht man etwas Erfahrung oder Übung, um sowas zu sehen.

Damit Du meine einleitenden Erklärungen zu Deinen ersten Abschätzungen ganz oben nicht falsch verstehst:
Dort hast Du mit der (kompletten) Behauptung angefangen und versucht das zu einer einzusehenden Ungleichung umzuformen. Dort musste man scheinbar in die "falsche" Richtung abschätzen, weil man den Weg ja dann rückwärts verfolgen muss, um die Behauptung zu zeigen.

Hier fangen wir mit der linken Seite an und verkleinern, bis wir die rechte Seite erreichen.

{(1 + \frac{1}{n^{2} - 1})}^{n} > 1 + \frac{n}{n^{2} - 1}

Jetzt verkleinern wir die rechte Seite weiter, indem wir den Nenner vergrößern.

1 + \frac{n}{n^{2} - 1} > 1 + \frac{n}{n^{2}} = 1 + \frac{1}{n}

Natürlich könnte man die gesamte Aufgabe auch durch vollständige Induktion beweisen (dann allerdings nur für natürliche

n \geq 2)

.
Eine weitere Idee wäre über die Monotonie der Funktion

f (x) = {(1 + \frac{1}{x - 1})}^{x}

SoNyu

18:23 Uhr, 24.06.2013

Also bis zu der Abschätzung ist mir alles klar und auch warum ich diese Abschätzung durchführe, aber ich verstehe das mit der Abschätzung irgendwie immer noch nicht so ganz.

Wenn ich jetzt mal ein für die rechte Seite einfach eine Zahl einsetze,

{(1 + \frac{1}{n^{2} - 1})}^{n} > 2

Dann schätze ich jetzt die rechte Seite nach oben ab. Zum Beispiel:

{(1 + \frac{1}{n^{2} - 1})}^{n} > 3

Wieso ich nun nach oben abschätzen muss ist mir leider immer noch nicht klar.

Liegt es daran, dass ich dadurch einfach keine Information gewinnen würde?
Wenn die Ungleichung für 2 erfüllt ist, dann ist sie es mit Sicherheit auch für 1.
Wenn ich jedoch auch zeigen kann, das sie für größere Werte gilt, wie für die 3, dann bringt mir das schon mehr. Geht das in die richtige Richtung.

Ich habe jetzt einfach mal irgendwelche Zahlen genommen um mein Problem zu verdeutlichen.

Matlog aktiv_icon

18:40 Uhr, 24.06.2013

Ja, Du hast das schon richtig beschrieben:
Wenn Du

a_{n} > 2

zeigen sollst, dann nützt Dir

a_{n} > 1

nicht viel, da daraus die Behauptung nicht gefolgert werden kann.
Wenn Du

a_{n} > 3

zeigen kannst, hast Du aber schon gewonnen, da daraus die Behauptung folgt.

Es ist aber viel einfacher, nicht immer eine komplette Ungleichung zu sehen, sondern einfach von links nach rechts zu folgern.
Du beginnst einfach mit der linken Seite der Behauptung und verkleinerst diese so lange, bis die geforderte rechte Seite entsteht. (Oder Du fängst rechts an und vergrößerst immer weiter.)
Also einfach

a_{n} > 3 > 2

. Fertig!

SoNyu

19:36 Uhr, 24.06.2013

Okay, das macht es klarer.

Und ich darf nun

\frac{n}{n^{2} - 1} > \frac{1}{n}

abschätzen, weil ich den Zähler vergrößer und den Nenner verkleiner, weshalb der Bruch im Endeffekt größer ist.

Und das diese Ungleichung:

{(1 + \frac{1}{n^{2} - 1})}^{n} > 1 + \frac{n}{n^{2} - 1}

gilt, erkenne ich durch die Bernoullischen Ungleichung.

Ich glaube ich habe es verstanden.

Vielen Dank.

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