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Ungleichung Abschätzen (Geometrisches Drittel)

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Tags: polynom, Relation., Ungleichung

Hannes1234 aktiv_icon

17:06 Uhr, 05.06.2023

Hey Leute,

Ich bin aktuell daran einen Vortag vorzubereiten über das Reduktive Wurzelziehen. Grob geht es darum dass, das harmonische Mittel (hM)

(\frac{2 \cdot a \cdot b}{a + b})

von unten an das Geometrische Mittel (gM) (

\sqrt{a \cdot b})

konvergiert und das Arithmetische Mittel (aM)

(\frac{a + b}{2})

von oben gegen das geometrische Mittel konvergiert.

Mein Beweis:

1 < a < b

\frac{a + b}{2} - \frac{2 \cdot a \cdot b}{a + b} = (\frac{{(a + b)}^{2} - (4 \cdot a \cdot b)}{2 (a + b)})

= \frac{{(b - a)}^{2}}{2 (a + b)} < (b - a) \frac{b + a}{2 (a + b)} = \frac{b - a}{2}

Das heißt dass ein Intervall

[a, b]

nach der Berechnung von hM und gM ist das neue Intervall kleiner als die Hälfte des ursprünglichen Intervalls. Man erhält eine Intervallschachtelung und somit Konvergenz.
Ich hätte mal noch erwähnen sollen, dass gilt:

hM

<

<

aM

So jetzt zu meiner Frage:

ich möchte das ähnlich für das erste arithmetische Drittel und die wurzel des zweiten Harmonischen Drittels zeigen.

Hier wäre meine UNgleichung dafür:

\frac{2 a + b}{3} - \sqrt{\frac{3 \cdot a \cdot b}{2 a + 3}} < \frac{b - a}{3}

Ich wollte diese Ungleichung genauso geschickt, oder anderes geschickt abschätzen damit diese Ungleichung eingesehen werden kann.

Ich wäre sehr sehr Dankbar wenn mir jemand helfen könnten! :-)

Liebe Grüße
Hannes :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Hannes1234 aktiv_icon

18:06 Uhr, 05.06.2023

Danke schonmal an alle fleißigen Helfer.

Im Endeffekt geht es mir nur um die Ungleichung:

\frac{2 \cdot a + b}{3} - \sqrt{\frac{3 \cdot a \cdot b}{2 \cdot a + b}} < \frac{b - a}{3}

Diese Ungleichung durch geschicktes abschätzen zeigen :-)

bzw. das wäre meine Idee zumindest gewesen, weshalb ich am Anfang etwas ausgeholt habe und versucht habe das Setting einbisschen zu erklären :-)
Falls euch andere Wege einfallen auch sehr gerne herdamit :-)

Liebe grüße
Hannes

HAL9000

18:10 Uhr, 05.06.2023

Was auch immer du mit "zweiten harmonischen Drittel" meinst (siehe meine Frage im anderen Thread), der Term

\sqrt{\frac{3 \cdot a \cdot b}{2 a + 3}}

sieht diesbezüglich total falsch aus - selbst wenn man die 3 im Nenner durch

b

ersetzt. :(

Um das nochmal zu untermauern:

M (a, b) = \sqrt{\frac{3 a b}{2 a + b}}

ist keine geeignete Mittel-Definition.

Das mindeste, was man von so einem Mittel fordern sollte ist, dass im Fall

a \leq b

auf jeden Fall

a \leq M (a, b) \leq b

gelten sollte. Nach meinem Dafürhalten würde ich auch noch Homogenität vom Grad 1 fordern, d.h., für alle

λ > 0

muss

M (λ a, λ b) = λ \cdot M (a, b)

gelten.

Beides ist für dein obiges

M

nicht erfüllt: Zum einen gilt

M (λ a, λ b) = \sqrt{λ} \cdot M (a, b)

, zum anderen ist

M (a, a) = \sqrt{a}

, was für ALLE

a > 0, a \neq 1

der ersten Forderung, die hier ja

a = M (a, a)

lautet, widerspricht. Irgend etwas ist hier also oberfaul - überarbeite bzw. korrigiere das bitte!

------------------------------------------

Ich hätte es eher so verstanden: So wie

\frac{2 a + b}{3} = \frac{a + a + b}{3}

das arithmetische Mittel der drei Zahlen

a, a, b

ist, so hätte ich als "zugehöriges" harmonisches Mittel dasjenige der gleichen drei Zahlen verstanden, d.h.

\frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{3 a b}{a + 2 b}

Hannes1234 aktiv_icon

17:39 Uhr, 06.06.2023

Hi Hal9000,

Vielen Dank für die Anmerkung. Das hast du sehr richtig erkannt dass ich da Blödsinn hingeschrieben habe. Ich hatte versucht mir das geometrisch herzuleiten und habe da einen Fehler gemacht. Ich hatte an einer Stelle über die Ähnlichkeit von 2 Dreiecken argumentiert welche nicht ähnlich waren...

Du hast den richtigen Term schön algebraisch hergeleitet für das erste harmonische Drittel. Ich möchte aber das 2. harmonische Drittel des Intervalls

[a, b]

.
Dieses wäre in meinen Augen dann

\frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b}} = \frac{3 \cdot a \cdot b}{2 a + b}

Im Endeffekt stimmt der "Rest" trotzdem, nur die Ungleichung war falsch.

Ich setzt mich jetzt mal an die neue und richtige Ungleichung:

\frac{2 a + b}{3} - \sqrt{\frac{3 \cdot a \cdot b}{2 a + b}} < \frac{b - a}{3}

Falls ich etwas schönes hinbekomme poste ich mein Ergebnis hier rein :-)

LG
Hannes :-)

HAL9000

18:04 Uhr, 06.06.2023

Trotzdem hast du nicht richtig zugehört:

\frac{3 a b}{2 a + b}

mag ein vernünftiges Mittel sein - die Wurzel daraus ist es NICHT!!!

Beispiel

a = b = 4

, dann soll das Mittel daraus

\sqrt{\frac{3 \cdot 4 \cdot 4}{2 \cdot 4 + 4}} = 2

sein? Was soll das denn für einen Sinn haben???

Es lassen sich auch ohne weiteres andere Konstellationen

a < b

angeben, wo

\frac{2 a + b}{3} - \sqrt{\frac{3 a b}{2 a + b}} < 0

ist...

Aber falls du das alles wieder beiseite wischen willst: Deine Ungleichung

\frac{2 a + b}{3} - \sqrt{\frac{3 a b}{2 a + b}} < \frac{b - a}{3}

stimmt nicht für alle

0 < a < b

, setze z.B. mal

a = 6, b = 96

ein...

Die Ungleichung

\frac{2 a + b}{3} - \frac{3 a b}{2 a + b} \leq \frac{b - a}{3}

ist hingegen für alle

0 < a \leq b

richtig, mit Gleichheit auch nur genau dann wenn

a = b

ist. Allerdings kann auch diese Differenz auf der linken Seite negativ werden, z.B. für

a = 1, b = 2

.

Das passiert beim "anderen" harmonischen Drittel nicht, d.h., dort ist tatsächlich

0 \leq \frac{2 a + b}{3} - \frac{3 a b}{a + 2 b} \leq \frac{b - a}{3}

für alle

0 < a \leq b

.

EDIT (8.6.): Sonderlich groß scheint das Interesse nicht zu sein, die angesprochenen Widerprüche in der Problemstellung endlich mal zu beseitigen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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