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Ungleichung Harmonisches u Geometrisches Mittel

Universität / Fachhochschule

Tags: Folgen, Mittelwert, Reihen, Ungleichung

LK-ler aktiv_icon

17:17 Uhr, 31.10.2011

Hallo,
ich hänge bei der folgenden Aufgabe fest:

Für die positiven reellen Zahlen

x_{1}, . . ., x_{n} > 0

sind

H (x_{1}, . . . x_{n}) = \frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + . . . + \frac{1}{x_{n}}}

das harmonische Mittel und

G (x_{1}, . . . x_{n}) = \sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot . . . \cdot x_{n}}

das geometrische Mittel von

x_{1}, . . . x_{n}

.

Zeigen Sie: Falls

0 < x_{1} \leq . . . \leq x_{n}

gilt, so ist

H (x_{1}, . . ., x_{n}) \leq G (x_{1}, . . ., x_{n})

.

Mein Ansatz war der Folgende, allerdings kam ich mit meiner Induktion nicht weiter:

Zunächst eine Umformung:

\frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + . . . + \frac{1}{x_{n}}} \leq \sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot . . . \cdot x_{n}} \overset{}{\Leftrightarrow} {(\frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + . . . + \frac{1}{x_{n}}})}^{n} \leq x_{1} \cdot x_{2} \cdot . . . \cdot x_{n}

I.A. n=1:

x \leq x

I.V. Ungleichung gelte für ein n.
I.S.: n=n+1 :

x_{1} \cdot x_{2} \cdot . . . \cdot x_{n} \cdot x_{n + 1} \geq {(\frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + . . . + \frac{1}{x_{n}}})}^{n} \cdot x_{n + 1}

Wenn ich jetzt oBdA sagen könnte, dass

x_{n + 1} > 1

gilt, dann wäre ich wohl fertig. Aber die x müssen ja nur >0 sein.

Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.

Viele Grüße,
LK-ler

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