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Ungleichung beweisen per Mittelwertsatz?

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Differentiation, Funktion, Mittelwertsatz, Ungleichung

wolle007 aktiv_icon

16:25 Uhr, 20.05.2009

Hi ;-) wir haben in Analysis folgende Aufgabe bekommen:

Beweisen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes für

0 < a < b

und

n > 1

die Ungleichung:

b^{n} - a^{n} < n \cdot (b - a) \cdot b^{n - 1}

Dummerweise habe ich keine Idee wie man da rangeht. Im Tutorium musste mal wieder alles extraschnell gehen. Er hat zwar eine ähnliche Aufgabe gerechnet, allerdings kam ich nicht ganz mit.

Mein erster Ansatz war:

Wir leiten die rechte Seite der Ungleichung ab

(

in Abhängigkeit von

b)

f' (b) = n^{2} \cdot b^{n - 1} - (n - 1) \cdot n \cdot a \cdot b^{n - 2}

Nun können wir mit unserem Mittelwertsatz sagen: Es gibt ein

t \in (a, b)

mit:

f' (t) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

Im Tutorium hat unser Tutor in einer anderen Aufgabe nun folgenden Schritt gemacht:

| \cdot (b - a)

\Rightarrow

f' (t) \cdot (b - a) = f (b) - f (a)

Nun hat nur die linke Seite der Gleichung betrachtet und ausgewertet:

(n^{2} \cdot t^{n - 1} - (n - 1) \cdot n \cdot a \cdot t^{n - 2}) \cdot (b - a)

Und DANN hat er irgendwie abgeschätzt, dass dieser Term größer irgendetwas anderem ist... und dann war er fertig :-D)

also ich habe 2 fragen (skript hat leider nicht weitergeholfen):

-inwiefern kann dieser Mittelwertsatz die Ungleichung beweisen, wo steckt da der Sinn? Ich weiss ja was der Mittelwertsatz besagt! Nur... inwiefern hilft mir das bei meinem Problem

-kann mir jemand allgemein zeigen, wie ich mithilfe des Mittelwertsatz solch eine Ungleichung beweise?

Schonmal vielen dank ;-)

Gruß Christopher

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Einführung Funktionen

pepe1 aktiv_icon

18:38 Uhr, 20.05.2009

f (x) = x^{n}

f´(x)

= n \cdot x^{n - 1}

Sei

0 < a < b

und

n > 1 :

MWS:

f (b) - f (a) = (b - a) \cdot

f´(t) mit

t \in] a; b [

also:

b^{n} - a^{n} = (b - a) \cdot n \cdot t^{n - 1} < (b - a) \cdot n \cdot b^{n - 1},

t \in] a; b [:

somit:

0 < t < b

und, da

n > 1,

auch

t^{n - 1} < b^{n - 1}

Zu:...kann mir jemand allgemein zeigen, wie ich mithilfe des Mittelwertsatz solch eine Ungleichung beweisen?...
Aus der Gleichung (MWS)

f (b) - f (a) = (b - a) \cdot

f´(t) mit

t \in] a; b [

durch "Abschätzung des unbekannten Zwischenwertes t",

t \in] a, b [

. "

t

zwischen a und b" und f´(t) eine Ungleichng machen;
hier: f´(t)

<

f´(b), (da f´ monoton wachsend)
f´(t)

>

f´(b), ( wenn f´ monoton fallend)

MfG

wolle007 aktiv_icon

19:51 Uhr, 20.05.2009

Alles klar, vielen vielen dank ;-) jetz hab ichs kapiert!

gruß christopher

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