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Ungleichung lösen! Vorgehen

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Tags: kubische Funktion, Relation., Ungleichung

 
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rubstudent99

rubstudent99 aktiv_icon

22:02 Uhr, 23.10.2017

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Ich habe ein kleines Problem bei folgender Ungleichung:
(x-2)(3x+1)(-x+1)>0
Man soll alle x finden, die die Ungleichung erfüllen. Leider war mir dies nur graphisch möglich. Ich habe die Nullstellen ermittelt:
x=-(1/3),x=1,x=2
Anschließend habe ich durch ausprobieren, d.h durch Einsetzen von Werten zwischen den Nullstellen bzw. außerhalb der Nullstellen, die Intervalle herausbekommen:
x(-,-(1/3)x(1,2).

Meine Frage wäre, wie man die Intervalle auf algebraischem Wege erhält.

Danke im Voraus

LG


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Respon

Respon

22:14 Uhr, 23.10.2017

Antworten
Ausprobieren ist nicht wirklich "mathematisch".
Mehrere Möglichkeiten.
Zerlege gemäß der Nullstellen in Intervalle, überlege dir in jedem Intervall die Vorzeichen der einzelnen Klammerterme und schließe daraus.

Berechne die zwei Extrempunkte und schließe daraus.
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abakus

abakus

22:22 Uhr, 23.10.2017

Antworten
Hallo,
wenn du "Einsetzen von Werten ... außerhalb der Nullstellen" ersetzt durch "Bestimmung des (uneigentlichen) Grenzwertes für x gegen minus bzw. plus unendlich", und wenn du außerdem begründen kannst, dass an jeder der drei Nullstellen ein Vorzeichenwechsel stattfindet, bist du nahe (und mathematisch sauber) am Ziel.
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tobit

tobit aktiv_icon

23:39 Uhr, 23.10.2017

Antworten
Hallo zusammen!

Warum soll die "Ausprobieren durch Einsetzen"-Strategie nicht wirklich mathematisch oder mathematisch unsauber sein?

Die Funktion f:,f(x):=(x-2)(3x+1)(-x+1) ist offenbar stetig und kann somit gemäß Zwischenwertsatz in Intervallen ohne Nullstellen nirgendwo das Vorzeichen wechseln.
Somit genügt es, das Vorzeichen EINES Funktionswertes in jedem dieser Intervalle zu bestimmen, um die Vorzeichen ALLER Funktionswerte in diesem Intervall zu kennen.

Viele Grüße
Tobias
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