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Ungleichung mit Absolutbetrag - Verständnisproblem

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: absolutbetrag, Sonstiges, Ungleichung

Domsi aktiv_icon

12:11 Uhr, 09.10.2010

Hallo!

Das Thema wurde ja schon sehr oft behandelt. Allerdings habe ich mit den Ungleichungen und Beträgen allgemeine Verständnisprobleme. Das einzige was wir auf der Uni gemacht haben ist folgendes:

$| 2 x - 8 | = {\begin{matrix} 2 x - 8; 2 x - 8 \geq 0 \\ - 2 x + 8; 2 x - 8 < 0 \end{matrix} = {\begin{matrix} 2 x - 8; x \geq 4 \\ -2x+8; x<4 \end{matrix}$

Mit >=0 und <0 lege ich ja fest (wenn man sich die Grunddefinition anschaut de.wikipedia.org/wiki/Betragsfunktion wenn x < 0 ist muss ich mit -x rechnen, damit der Betrag immer größer als 0 bleibt.

Dieser Absolutbetrag gibt ja den Abstand zu 0 an und der Betrag meiner Formel muss immer größer gleich 0 sein.

In diesem Beispiel wird jetzt ja nur festgelegt, wenn x>=4 ist muss ich mit 2x-8 rechnen und wenn x<4 ist muss ich mit -2x+8 rechnen, damit am Ende der Betrag größer als 0 ist.

Jetzt habe ich hier 2 Beispiele zu berechnen:

(Beispiel im Anhang)

a.)

$| x - 1 | < 3 = {\begin{matrix} x - 1; x - 1 \geq 0 \\ - x + 1; x - 1 < 0 \end{matrix} = {\begin{matrix} x - 1; x \geq 1 \\ - x + 1; x < 4 \end{matrix}$

Das heißt jetzt, wenn x>=1 ist dann mit x-1 rechnen, wenn x<4 mit -x+1 rechnen

Fall 1.)

$x - 1 < 3$

$x < 4$

$L 1 = {x < 4}$

Fall 2.)

$- x + 1 < 3 | - 1$

$x < 2 | * - 1$

$x > - 2$

$L 2 = {x > - 2}$

Also wäre die Lösungsmenge für Bsp. a:

$L = L 1 \cup L 2 = {x < 4; x > - 2}$

Lässt sich ja auch einfach beweißen wenn man jetzt Zahlen in die Gleichung einsetzt.

Allerdings kommt mir jetzt beim zweiten Beispiel (Bsp. b. ) ein Verständnisproblem auf.

Wie gesagt wir haben in der Vorlesung nur das ganz erste Beispiel gemacht. Daher weiß ich jetzt nicht was ich machen muss, wenn ich 2 Beträge in der Ungleichung habe???

Muss ich jetzt 4. Fallbeispiele aufstellen? Wenn ja wie??? Gibt es dafür eine Spezielle Regel?

Ich wäre über einen Lösungsvorschlag sehr dankbar. Allerdings würde ich darum bitten, auch zu erklären wie man Grundsätzlich bei Doppel-Beträgen vorgeht und vor allem warum man es so macht.

Vielen Dank schon im voraus.

Domsi

m-at-he

12:35 Uhr, 09.10.2010

Hallo,

zunächst solltest Du mal Deine Rechnungen überprüfen, denn mir ist nicht klar, wie Du von

- x + 1; x - 1 < 0

auf

- x + 1; x - 1 < 4

kommst!

Außerdem wäre es für Dich sehr hilfreich, wenn Du Dir an die Fälle "ranschreiben" würdest, welcher Fall gemeint ist, denn er beinhaltet auch Einschränkungen für die Lösungsmenge! So kommst Du im ersten Fall (der ja NUR für

x \geq 1

gilt!) zu dem Ergebnis

x < 4

und damit ergibt sich als Lösungsmenge

L_{1} = {1 \leq x < 4}

Analog im zweiten Fall

L_{2} = {- 2 < x < 1}

Und damit

L = L_{1} ⋃ L_{2} = {- 2 < x < 4}

Bei der Aufgabe

b)

mußt Du zunächst 2 Fälle unterscheiden und innerhalb der Fälle kann es zu 2 weiteren Unterfällen kommen. Es ist gut möglich, daß durch die Fallvoraussetzung einer der beiden Unterfälle komplett entfällt, deshalb ist es ja auch sinnvoll (siehe oben) sich diese an die Fälle heranzuschreiben. So verliert man sie nicht so leicht aus dem Auge!

Tip: Beginne die Fallunterscheidung mit dem inneren Betrag!

Domsi aktiv_icon

13:42 Uhr, 09.10.2010

Danke für die schnelle Antwort!

Ohh da habe ich wohl einen Tippfehler.

Sollte also so sein :) D

-x+1;x-1<0 auf -x+1;x<1

Danke für den Hinweis.

Hmm. So hatte ich das jetzt gar nicht betrachtet. Hatte erlicht gesagt nicht daran gedacht, dass ich die Bedinungen der einzelnen Fälle in die Lösungsmenge miteinbeziehen muss.

Aufgabe b.)

Innerer Betrag:

$| x - 1 | = {\begin{matrix} x - 1; x - 1 \geq 0 \\ - x + 1; x - 1 < 0 \end{matrix} = {\begin{matrix} x - 1; x \geq 1 \\ - x + 1; x < 1 \end{matrix}$

Wie setze ich die Erkenntnis des inneren Betrags in den äußeren Betrag ein?

Also wie gehts jetzt weiter?

Das einzige was mir jetzt einfallen würde, wäre dies:

$| x + x - 1 | < 9$

Aber ich glaube nicht dass ich das so machen kann.

Ich hätte ja schon die Idee gehabt, den inneren Betrag extra zu behandeln. Allerdings ist mir nicht klar, wie ich jetzt weiter vorgehen muss.

Wie gesagt, ich habe bisher noch nie solche Doppel-Beträge gerechnet und es wurde auch nie erklärt, wie man damit umgeht.

Würde also noch einen kleinen Anstoß benötigen, wie ich weiter machen muss.

Lg,Domsi

m-at-he

15:05 Uhr, 09.10.2010

Hallo,

Fall

1 : x - 1 \geq 0 \Rightarrow | x - 1 | = x - 1

und

x \geq 1

\Rightarrow | x + | x - 1 | | = | x + x - 1 | = | 2 \cdot x - 1 |

Fall

1.1 : 2 \cdot x - 1 \geq 0 \Rightarrow | 2 \cdot x - 1 | = 2 \cdot x - 1

und

x \geq \frac{1}{2}

| x + | x - 1 | | < 9

2 \cdot x - 1 < 9

2 \cdot x < 10

x < 5

L_{11} = {1 \leq x < 5}

Fall

1.2 : 2 \cdot x - 1 < 0 \Rightarrow | 2 \cdot x - 1 | = - 2 \cdot x + 1

und

x < \frac{1}{2}

x < \frac{1}{2}

ist widerspruch zu

x \geq 1,

der Fallvoraussetzung!

L_{12} = \emptyset

Fall 2:
zum Selbermachen...

Domsi aktiv_icon

15:21 Uhr, 09.10.2010

Müsste

L11 nach der Erkenntnis aus Fall 1.1 --> x>=1/2

nicht so lauten?

$L_{11} = {\frac{1}{2} \leq x < 5}$

Danke für den Rechengang. Werde Fall 2 dann posten wenn ich es gerechnet habe!

Edit: Achso. Nee schon ok. Habs schon gesehen. Es wurde ja Anfangs schon festgelegt, dass X>=1 ist....

Domsi aktiv_icon

17:53 Uhr, 09.10.2010

Danke für deine Hilfe!

Konnte Fall Nummer 2 jetzt auch lösen!

Fall2:

|x-1|<0 --> x<1

Fall 2.1:

$2 x - 1 \geq 0 \Rightarrow | 2 x - 1 | = 2 x - 1 u n d x \geq \frac{1}{2}$

$| x + | x - 1 | | < 9$

$- (2 x - 1) < 9$

$- 2 x + 1 < 9$

$- 2 x < 8$

$x > - 4$

$L_{21} = {- 4 < x < 1}$

Fall 2.2

$2 x - 1 < 0 \Rightarrow x < \frac{1}{2}$

$| x + | x - 1 | | < 9$

$- (2 x - 1) < 9$

$- 2 x + 1 < 9$

$- 2 x < 8$

$x > - 4$

$L_{22} = {- 4 < x < \frac{1}{2}}$

$L = L_{11} \cup L_{12} \cup L_{21} \cup L_{22} = {- 4 < x < 5}$

Vielen Dank für deine Hilfe!!!

QPhma aktiv_icon

01:52 Uhr, 10.10.2010

Einspruch!

Im Fall 2 soll

(x - 1) < 0

sein. Dann gilt aber

| x - 1 | = - (x - 1)

. Das wird in die Anfangsgleichung eingesetzt:

| x + | x - 1 | | = | x - (x - 1) | = | 1 | < 9

Für diese Gleichung müssen alle Lösungen gesucht werden.

Domsi aktiv_icon

09:49 Uhr, 10.10.2010

Das verstehe ich jetzt nicht ganz.

Wenn dann müsste es doch

|x+|x-1|| < 0 sein... nachdem ich ja die einzelnen Fälle behandeln will

Damit wäre mit deinem Einspruch:

|x-(x-1)| < 0 -> |1| < 0

Und |1| kann wohl nicht kleiner als 0 sein.

Verstehe nicht ganz wieso du < 9 schreibst.

Was mir jetzt einfallen würde wäre, dass dieser Fall |1| < 0 ... nie wirksam wird

Dafür im nächsten FAll |x+|x-1|| >= 0

würde es dann sehr wohl funktionieren...

d.h. Fall 2.1 fällt aus

--> Fall 2.2 mit |1| >= 0 ... würde an der Berechnung von L21 nichts ändern

Somit wäre die Endgültige Lösungsmenge die gleiche.

Sehe ich das so richtig?

m-at-he

10:39 Uhr, 10.10.2010

Hallo,

"Verstehe nicht ganz wieso du

< 9

schreibst." - Wirf doch mal einen Blick auf die Aufgabe...

Domsi aktiv_icon

11:14 Uhr, 10.10.2010

Ja schon aber ich nehme doch für Fall 2 folgendes an:

|x-1|<0

Fall. 2.1 |x+|x-1|| >= 0

Fall 2.2 |x+|x-1|| < 0

Also warum < 9 ???

|x+|x-1||=|x-(x-1)|=|1|<9

Für diese Gleichung müssen alle Lösungen gesucht werden.

Wieso soll ich für |1| < 9 Lösungen suchen??? Kommt ja nie was dabei raus....

Domsi aktiv_icon

13:27 Uhr, 10.10.2010

Achsoo

Jetzt ist es mir klar...

Wenn |x+|x-1|| < 9 und |x-1| <0 -> x<1

|x-(x-1)| < 9

1 < 9

bedeutet, für alle x die kleiner als 1 sind ist die Lösung 1

Das heißt ich brauche dazu keine Fälle mehr aufstellen, da am Ende immer 1 rauskommt

Also ist meine Lösungsmenge für die Gesamte Aufgabe:

$L = {x < 5}$

QPhma aktiv_icon

23:08 Uhr, 10.10.2010

Das mit dem Fall 2 hast Du richtig rausbekommen: Man kommt auf die Gleichung

1 < 9,

also eine falsche Aussage. Es gibt kein

x,

das diese Gleichung richtig machen würde. Die Lösungsmenge im Fall 2 leer.

Die Lösungsmenge, die Du in Deinem letzten Beitrag für den 1. Fall angibst, ist nicht richtig. Die richtige Lösung hatte m-at-he gestern um

15 : 05

schon geschrieben. Der Grund, dass als untere Grenze die 1 genommen werden muss, und nicht

\frac{1}{2},

ist einfach, weil im gesamten Fall 1 gilt

x \geq 1

\frac{1}{2}

läge aber darunter.

m-at-he

00:25 Uhr, 11.10.2010

Hallo QPhma,

"Man kommt auf die Gleichung

1 < 9,

also eine falsche Aussage. Es gibt kein

x,

das diese Gleichung richtig machen würde. Die Lösungsmenge im Fall 2 leer. " - Ich kann mich ja irren, aber war das nicht eher so, daß 1 kleiner als 9 eine wahre Aussage ist? Daß die Ungleichung somit für alle

x

(die der Fallvoraussetzung genügen!) erfüllt ist und somit wie von Domsi dargestellt tatsächlich alle in diesem Fall betrachteten

x

die Lösungsmenge bilden? Also ich kann mich da Deiner Meinung nicht anschließen?

@Domsi
Die Fallvoraussetzung im Fall 2 ist nicht:

| x + | x - 1 | | < 9

und

| x - 1 | < 0 \to x < 1

sondern

| x + | x - 1 | | < 9

und

x - 1 < 0 \to | x - 1 | = - (x - 1)

und

x < 1

QPhma aktiv_icon

23:19 Uhr, 11.10.2010

Hallo,

ja ist klar. Das war Blödsinn, was ich geschrieben habe. Wahrscheinlich war es schon zu spät. Die Lösungsmenge im Fall 2 umfasst alle Zahlen unter 1.

QPhma

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