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Ungleichung mit Betrag auflösen

Universität / Fachhochschule

Tags: Äquivalenzumformung, Betrag, Betragsfunktion, Ungleichung

Moatl25 aktiv_icon

12:14 Uhr, 19.03.2025

Hallo Leute, habe ein Problem mit der Lösung einer Übungsaufgabe. Es geht um folgende Aufgabe mit einer Ungleichung mit zwei Beträgen.
Bestimmen Sie die Menge aller $x$ ∈ $R,$ für welche gilt: $| x^{2} + x$ − $2 |$ − $| 1$ − $x^{2} | > 0$ ⇐⇒
$| x^{2} + x$ − $2 | > | x^{2}$ − $1 |$

Ich verstehe diese Äquivalenzumformung nicht. Es wurde doch offensichtlich auf beiden Seiten $+ | 1$ − $x^{2} |$ gerechnet, wenn ich das richtig verstanden habe. Warum steht dann auf der rechten Seite plötzlich $| x^{2}$ − $1 |$ und nicht $| 1$ − $x^{2} |$ ? Ich darf doch Minuend und Subtrahend nicht einfach vertauschen ? Stehe hier total auf dem Schlauch. So steht es in der Lösung und es wird auch damit weitergerechnet. Handelt es sich vielleicht um einen Fehler in der Lösung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

KL700 aktiv_icon

12:28 Uhr, 19.03.2025

Das ist eine Grundeigenschaft des Betrags, da es beim Betrag nur auf die Größe des Ausdrucks ohne Vorzeichen ankommt. Es spielt keine Rolle, ob der Term als (1−x^2)(1−x^2) oder als (x^2−1)(x^2−1) geschrieben wird, da der Betrag das Ergebnis positiv macht.

Beispiel:

$x = 5$

$| 1 - 25 | = | 25 - 1 |$

PS:
$x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)$

Dann Fallunterscheidung durchführen.

Moatl25 aktiv_icon

12:36 Uhr, 19.03.2025

Verstanden! Vielen Dank! Dann wurde hier wahrscheinlich nur die Reihenfolge geändert, damit das $x^{2}$ an erster Stelle steht, oder? Im weiteren Verlauf der Lösung wurde dann die binomische Formel angewendet.

KL700 aktiv_icon

12:52 Uhr, 19.03.2025

Ja, die 3.
$a^{2} - b^{2} = . .$ .

Notwendig wäre es aber nicht umzustellen.

Moatl25 aktiv_icon

12:59 Uhr, 19.03.2025

Vielen Dank, hat mir sehr geholfen!

HAL9000

17:02 Uhr, 19.03.2025

Die Fallunterscheidung kann man auch weit hinausschieben bzw. de fakto auch ganz sein lassen: $∣ a ∣ > ∣ b ∣$ ist für reelle $a, b$ äquivalent zu $a^{2} > b^{2}$ und weiter dann mit $(a + b) (a - b) > 0$ . Dies hier auf $a = x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)$ sowie $b = x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ angewandt bedeutet

${(x - 1)}^{2} (x + 2 + x + 1) (x + 2 - (x + 1)) > 0$

${(x - 1)}^{2} (2 x + 3) > 0$

Das Produkt ist positiv, wenn beide Faktoren positiv oder beide negativ sind. Letzteres ist wegen des Quadrats beim ersten Faktor unmöglich, bleibt die erste Variante: ${(x - 1)}^{2} > 0$ bedeutet $x \neq 1$ , und $2 x + 3 > 0$ ist umgeformt $x > - \frac{3}{2}$ . Beides zusammen führt zu Lösungsmenge $L = (- \frac{3}{2}, \infty) \ {1}$ oder anders geschrieben $L = (- \frac{3}{2}, 1) \cup (1, \infty)$ .

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