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Ungleichung mit Betrag und Bruch

Universität / Fachhochschule

Tags: Betragsbruchungleichung, Betragsungleichung, Bruchungleichung, Lösungsmenge bestimmten

nkia1 aktiv_icon

12:37 Uhr, 05.01.2013

Hallo. Ich habe ein riesen Problem, ich kenne mich bei Betragsbruchungleichungen nicht aus, obwohl sie zur Prüfung kommen. Die Fälle aufstellen ist kein Problem, aber die Lösungsmenge bestimmen ist schwer und im Internet finde ich nicht viel Brauchbares dazu.

Es wäre wirklich super wenn mir jemand helfen könnte.

| \frac{x + 2}{x - 1} | > 1

1 Fall:

| x + 2 | > 0 | x - 1 | > 0

x + 2 > x - 1

> - 3 w . A

.

2 Fall:

| x + 2 | < 0 | x - 1 | < 0

- x - 2 > - x + 1

- 2 > 1 f . A

3. Fall:

| x + 2 | > 0 | x - 1 | < 0

x + 2 ≻ x + 1

x > - \frac{1}{2}

4.Fall

| x + 2 | < 0 | x - 1 | > 0

- x - 2 > x - 1

- \frac{1}{2} > x

Ich weiß auch das „>“ oder bedeutet. Aber trotzdem komme ich nicht zu einer Gesamtlösungsmenge. Vor allem weiß ich nicht was ich mit der wahren Aussage, falschen Aussage aus dem 1. Und 2. Fall anfangen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

rundblick aktiv_icon

13:23 Uhr, 05.01.2013

1 Fall:

| x + 2 | > 0 | x - 1 |

DIE 0 vor dem Betrag auf der rechten Seite ist falsch

aus

| \frac{x + 2}{x - 1} | > 1

folgt IMMER

| x + 2 | > | x - 1 |

2 Fall:

| x + 2 | < 0 | x - 1 | < 0

\to

abgesehen von der 0 vor dem Betrag

\to

das was dasteht ist Unsinn, denn Beträge sind IMMER POSITIV - also nie kleiner 0

nun, der Lösungsweg sieht so aus:

| \frac{x + 2}{x - 1} | > 1

\to

| x + 2 | > | x - 1 |

und jetzt mach folgende Fallunterscheidungen:

I.

\to

für alle

x > 1

sind beide Terme positiv, deshalb kannst du die Betragszeichen weglassen :

x + 2 > x - 1

\to

2 > - 1

und das ist eine immer gültige wahre Aussage
Folgerung: (erster Teil der Lösungsmenge)

\to

für alle

x > 1

gilt deine Ungleichung

II. für alle

x

mit

- 2 < x < 1

ist der erste Term positiv und der zweite negativ
wenn du nun die Betragszeichen weglassen wirst folgt aus

| x + 2 | > | x - 1 |

\to

x + 2 > - (x - 1)

x + 2 > - x + 1

2 x > - 1

x > - \frac{1}{2}

also nächster Teil deiner Lösungsmenge ist

- \frac{1}{2} < x < 1

so nun untersuche selbst noch den letzten Fall
III. wenn

x < - 2 \to . .

.

ok?

nkia1 aktiv_icon

15:35 Uhr, 05.01.2013

Perfekt! Danke für die schnelle Antwort.
Mein Fehler ich meinte:

| x + 2 | > 0,

|x−1|>0

- x - 2 > x - 1

- 1 > 2 x

- \frac{1}{2} > x

Aber das steht doch im Widerspruch zu der letzten Fallunterscheidung

(- \frac{1}{2} < x)

. Und die gesamtlösungsmenge kenne ich wieder nicht.

rundblick aktiv_icon

18:23 Uhr, 05.01.2013

"Mein Fehler ich meinte:

| x + 2 | > 0,

|x−1|>0 "

super - aber das hat nichts mit Meinen zu tun BETRÄGE SIND IMMER POSITIV ,
dh

| a | \geq 0

egal, welches Vorzeichen a hat

und wenn a negativ ist dann gilt

| a | = - a

und genau das verwendest du im dritten Fall, wenn

x < - 2

dann sind doch beide Terme negativ
und es ergibt sich also:
für

x < - 2 \to - (x + 2) > - (x - 1)

also dann

- x - 2 > - x + 1

- 2 > + 1 . .

. und du wirst einsehen, dass das immer eine falsche Aussage ist
und damit hast du im Fall III KEINE weitere Lösung für alle

x < - 2

Ergebnis:

| \frac{x + 2}{x - 1} | > 1

(.

. und

\to x \neq 1)

ist erfüllt für alle

x > - \frac{1}{2}

oder

L = {x | - \frac{1}{2} < x < \infty}

nkia1 aktiv_icon

10:21 Uhr, 08.01.2013

Habe es jetzt verstanden.Dankeschön!

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