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Ungleichung mit Binomialkoeffizienten
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Binomialkoeffizient, Binomischer Lehrsatz, Folgen und Reihen, Ungleichung
 
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Hallo, ich verzweifle gerade an einer Aufgabe in Analysis II für Physiker im 2. Semester http//postimg.org/image/4whzx3ryl Nachdem ich die Definition von Binomialkoeffizienten verwendet habe um die rechte Seite zu vereinfachen bin ich auf gekommen. Anschließend wollte ich die Ungleichung mit Induktion über zeigen aber beim Induktionsschritt komme ich nach dem Einsetzen der Induktionsvoraussetzung einfach nicht weiter (habe sogar die linke Seite mit dem binomischen Lehrsatz dargestellt, dass hat mir ebenfalls nicht weitergeholfen). Dann habe ich es ohne Induktion versucht, einfach wild umgeformt, erweitert, logarithmiert, potenziert, etc... in der Hoffnung die Ungleichung in eine Form zu bringen in der man leicht erkennt, dass sie stimmt. Das hat ebenfalls zu Nichts geführt... hat irgendjemand eine Idee wie man das zeigen kann bzw. was ich falsch mache?  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Kennst du die Bernoullische Ungleichung? http//de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Ungleichung |
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Nein, kannte ich noch nicht. Danke, damit löst sich das Beispiel quasi von selbst. |
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Hallo, es ist sicher nicht vom Aufgabensteller gewünscht, dass eine noch nicht eingeführte Ungleichung verwendet wird. "Nachdem ich die Definition von Binomialkoeffizienten verwendet habe um die rechte Seite zu vereinfachen bin ich auf (n+1-i)/(n+1) gekommen." Um damit weiterzuarbeiten, brauchst du keine Induktion. Das ist ein Bruch, bei dem der Zähler kleiner als der (oder bei i=0 gleich dem) Nenner ist, also ist dieser Bruch garantiert kleiner oder gleich 1. |
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Wie soll das helfen? |
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@Gast62: Ich weiß dass die rechte Seite immer kleinergleich 1 ist, aber das gilt ebenfalls für die linke Seite . @Shipwater: Ich habe beide Seiten umgeformt auf das ist exakt die Form der Bernoullischen Ungleichung, somit ist es gezeigt. Ich habe dann noch separat die Bernoullische Ungleichung per Induktion bewiesen, das war nicht schwer. Mein Fehler war der, dass ich zuvor immer über n induziert habe und nicht über i. |
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Die Aufgabe sah für mich so aus als würde sie die bernoullische Ungleichung voraussetzen. Aber du hast Recht es ist sehr leicht diese selbst zu beweisen, daher ist das auch nicht wirklich ein Problem. |
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