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Ungleichung mit Determinante und Norm

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Matrizenrechnung

Skalarprodukte

Tags: Determinanten, Matrizenrechnung, Norm, orthogonal, Skalarprodukt

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23:48 Uhr, 15.06.2016

Hallo,

ich habe ein Problem bei einem Beweis. Aufgabenteil a) habe ich bereits durch vollständige Induktion bewiesen. Ein Problem habe ich damit einen Ansatz für b) und c) zu finden.
Falls jemand einen Ansatz kennt, würde ich mich freuen.
Die Aufgabe lautet:

a) Seien

n \in ℕ

und F=

(f_{i j})_{1 \leq i, j \leq n} \in ℝ^{n x n}

eine positiv definite, symmetrische Matrix.
Zeigen Sie:

0 < d e t (F) \leq \prod_{i = 1}^{n} f_{i i}

Es gilt genau dann Gleichheit, wenn F eine Diagonalmatrix ist.

b) Seien weiter

∥ \cdot ∥

die vom Standardskalarprodukt auf dem

ℝ^{n}

induzierte Norm und

A \in ℝ^{n x n}

eine invertierbare Matrix mit den Vektoren

x_{1}, . . ., x_{n}

als Spalten. Zeigen Sie:

∣ d e t (A) ∣ \leq \prod_{i = 1}^{n} ∥ x_{i} ∥

Es gilt dann Gleichheit, wenn die Vektoren

x_{1}, . . ., x_{n}

bezüglich des Standartskalarprodukts paarweise orthogonal sind.

c) Interpretieren Sie die Aussage aus b) geometrisch.

Vielen Dank im Vorraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Bummerang

10:37 Uhr, 16.06.2016

Hallo,

b)

Es gilt, dass

{(A^{T})}^{T} A

ist. Somit gelten alle Eigenschaften für

A \cdot A^{T}

genauso für

A^{T} \cdot A = (A^{T}) \cdot {(A^{T})}^{T}

A \cdot A^{T}

ist eine symmetrische positiv semidefinte Matrix, also auch

A^{T} \cdot A

. Ist A invertierbar, so ist

A^{T} \cdot A

auch invertierbar. Eine invertierbare positiv semidefinte Matrix ist eine positiv definite Matrix. Damit erfüllt

F := A^{T} \cdot A

die Voraussetzungen für den Teil

a)

und es gilt:

det (F) \leq \prod_{i = 1}^{n} f_{i i}

Es gilt aber auch:

det (F) = det (A^{T} \cdot A) = det (A^{T}) \cdot det (A) = det (A) \cdot det (A) = {(det (A))}^{2} = {| det (A) |}^{2}

und es gilt für

F = A^{T} \cdot A :

\prod_{i = 1}^{n} f_{i i} = \prod_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} (a_{j i}^{2})) = {(\sqrt{\prod_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} (a_{j i}^{2}))})}^{2} = {(\prod_{i = 1}^{n} \sqrt{\sum_{j = 1}^{n} (a_{j i}^{2})})}^{2} = {(\prod_{i = 1}^{n} | | a_{i} | |)}^{2}

Aus

a)

folgt also:

{| det (A) |}^{2} = det (F) \leq \prod_{i = 1}^{n} f_{i i} = {(\prod_{i = 1}^{n} | | a_{i} | |)}^{2}

bzw. kurz:

{| det (A) |}^{2} \leq {(\prod_{i = 1}^{n} | | a_{i} | |)}^{2}

\Rightarrow

| det (A) | \leq | (\prod_{i = 1}^{n} | | a_{i} | |) |

Da die Faktoren im Produkt auf der rechten Seite alle nicht negativ sind und wegen der Invertierbarbeit von A sogar alle positiv sind, ist das gesamte Produkt positiv. Deshalb kann man die Betragsstriche auf der rechten Seite weglassen! Das ergibt:

| det (A) | \leq \prod_{i = 1}^{n} | | a_{i} | |

Wenn

F

eine Diagonalmatrix ist, dann sind in

A^{T} \cdot A

alle Skalarprodukte von unterschiedlichen Vektoren Null, diese also paarweise orthogonal. Andersherum, wenn die Vektoren alle paarweise orthogonal sind, sind die Skalarprodukte ausserhalb der Hauptdiagonalen alle Null und

F

ist eine Diagonalmatrix. Deshalb gilt hier, folgend aus

a),

dass die Gleichheit genau dann gilt, wenn die Vektoren paarweise orthogonal sind.

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