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Ungleichung mit Potenzzahlen zeigen

Universität / Fachhochschule

19:11 Uhr, 27.10.2020

Hallo, kann mir bitte jemand bei diesem Beweis helfen?

a^{r} < a^{s} \Leftrightarrow a > 1

mit a größer

0, r, s

rationale Zahlen und

r

kleiner

s

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

20:32 Uhr, 27.10.2020

Hallo,

wir haben erstmal:

a > 0

(r < s

UND

a^{r} < a^{s})

\Leftrightarrow (r < s

UND

ln (a^{r}) < ln (a^{s}))

\Leftrightarrow (r < s

UND

r . ln (a) < s . ln (a))

Auf der anderen Seite hast du:

a > 1 \Leftrightarrow ln (a) > ln (1) \Leftrightarrow ln (a) > 0

d . h

. dass

r . ln (a) < s . ln (a) \Leftrightarrow r < s,

da beide Seiten dieser Ungleichung mit der positiven Zahl

ln (a)

multipliziert wurden.

Dies lässt sich zusammenfassen als: wenn

a > 0

UND

r < s

dann:

a > 1 \Leftrightarrow a^{r} < a^{s}

Ich hoffe, dass dieser Beweis deine Frage beantwortet.

Viele Grüße
Nouri

20:44 Uhr, 27.10.2020

Danke für die Antwort, aber geht der Beweis auch ohne den natürlichen Logarithmus? Den haben wir bisher nicht definiert.

21:30 Uhr, 27.10.2020

21:38 Uhr, 27.10.2020

Die Differenz

a^{s} - a^{r}

lässt sich schreiben als

a^{r} (a^{s - r} - 1)

. Kannst du nachweisen, dass das (für a>1) größer als 0 ist?

21:41 Uhr, 27.10.2020

Oder so. Klasse Idee! Der Beweis ist fast trivial dann.

09:29 Uhr, 28.10.2020

Hallo,
nur sicherheitshalber:
seien

p, q \in ℕ, p, q \neq 0

.
Wie beweist du denn

a^{\frac{p}{q}} > 1 \overset{}{\Leftrightarrow} a > 1

?
Gruß ermanus

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