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Ungleichung mit arctan

Universität / Fachhochschule

Tags: arctan, Arcustangens, Ungleichung

 
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lini91

lini91 aktiv_icon

12:17 Uhr, 01.02.2016

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Hallo,

ich soll für alle x>0 zeigen, dass folgendes gilt:
x1+x2<arctan(x)<x
Mit Ungleichungen habe ich kein Problem. Ich habe hier wegen des arctan leider allerdings keinen Ansatz.

Über Hinweise in die richtige Richtung würde ich mich sehr freuen!
Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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rundblick

rundblick aktiv_icon

12:32 Uhr, 01.02.2016

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.
wo ist genau das Problem?

schau dir doch die arctan(x) - Kurve an,
dann wirst du direkt sehen:
deine fortlaufende Ungleichung ist für alle x>0 erfüllt ..
.
Antwort
anonymous

anonymous

12:58 Uhr, 01.02.2016

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Sehr hilfreich könnte auch eine geschickte Skizze vom Einheitskreis sein.
Wenn du es geschickt anstellst, dann hast du dann die einzelnen Größen (Terme) direkt als Strecken (bzw. Bögen) vor Augen, und dürfte die Ansatz-Findung erleichtern.
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IPanic

IPanic aktiv_icon

13:03 Uhr, 01.02.2016

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Hier eine andere Herangehensweise:

zz: arctan(x)<x

Sei f(x):=arctan(x)
Dann ist f'(x)=11+x2≤1 für alle x

Sei g(x):=x
Dann ist g'(x)=1

f(0)=0
g(0)=0

Da stets g'(x)>f'(x) für alle x>0 folgt die Behauptung

Analog für linke Seite der Ungleichung.
Frage beantwortet
lini91

lini91 aktiv_icon

13:12 Uhr, 01.02.2016

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Vielen Dank euch allen! Anschaulich war mir das schon klar. Mir hat der Ansatz von IPanic gefehlt!