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Ungleichung mittels Mittelwertsatz zeigen

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Tags: Funktion, Mittelwertsatz, Ungleichung

 
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peacemen

peacemen

16:13 Uhr, 17.02.2020

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Man soll mittels MWS zeigen, dass für alle x2>x1≥0 gilt:
25+x2-25+x1<110(x2-x1)
Ich habe die Ungleichung bereits zu 10>25+x2-25+x1x2-x1 umgeformt.

Wähle ich nun f(x):=25+x, so steht auf der rechten Seite der Differenzenquotient α:=f(x2)-f(x1)x2-x1. Was mache ich jetzt? Der MWS sagt, dass ∃ξ∈(x1,x2):fʹ(ξ)=α, aber was bringt mir das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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pwmeyer

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16:21 Uhr, 17.02.2020

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Hallo,

aufgrund der Angaben kannst Du f'(ξ) nach oben abschätzen. Das liefert die Ungleichung

Gruß pwm
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ermanus

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16:27 Uhr, 17.02.2020

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Hallo,
In "Ich habe die Ungleichung bereits zu 10> ..."
umgeformt, muss es ja wohl "... 110> ..."
heißen.
Also bestimme die Ableitung von f(x)=25+x
und folge pwmeyers Rat!
Gruß ermanus
peacemen

peacemen

17:19 Uhr, 17.02.2020

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@ermanus Stimmt, da bin ich mit der Kehrwert durcheinander gekommen. Vielen Dank.

Jetzt konnte ich die Ungleichung lösen und habe am Ende stehen ξ>0. D.h. ja für mein ξ∈(x1,x2) unter den geg. Bedingungen ξ∈(0,∞), oder?
Bin ich jetzt fertig, oder muss ich noch extra zeigen, dass z.B. auch der Fall x1=0 abgedeckt ist?
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ermanus

ermanus aktiv_icon

18:39 Uhr, 17.02.2020

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Hallo,
x1=0 ist mitabgedeckt, da ja dann 0=x1<ξ<x2 gilt.
Gruß ermanus