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Ungleichung nach n auflösen
Schüler
Tags: Analysis, Gleichungen, Ungleichung
 
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Hallo, wir wissen von 2 Algorithmen die Laufzeiten. Einmal und einmal Wir sollen nun überprüfen, ab welchem es Sinn macht, welchen der Algorithmen zu benutzen. Für die Werter von 1 bis 9 ist es besser den zu benutzen, da Ab ist es besser den zu benutzen, da Ich habe mir gedacht wenn ich die Ungleichung aufstelle: und es schaffe sie umzustellen, müsste ich auf: kommen. Danke |
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Na, eigentlich müsstest du bei deiner Ungleichung auf die Lösung kommen. Für bedeutet das natürlich denn (ist auch eine natürliche Zahl laut Norm) ist keine Lösung der Ungleichung. Allerdings lässt sich diese Gleichung nicht exakt analytisch lösen. Man kann die Lösung zwar mithilfe der Lambert-W Funktion anschreiben, aber diese ist letztlich auch nur eine Abkürzung für eine nur numerisch lösbare Gleichung. Dein Ansatz, die gewünschte Ungleichung anzugeben und dann durch Probieren die Grenze zu finden ist schon OK. Eventuell könnte man das Ganze durch eine Grafik der beiden Funktionen ergänzen. Dort sieht man recht schnell, dass die Exponentialfunktion sehr bald die lineare Funktion "überholt" und kann auch ungefähr ablesen, an welcher Stelle das passiert. Das minimiert dann den Aufwand des nachfolgenden konkreten Probierens durch Einsetzen von Werten. |
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Hallo, wenn Du zunächst überlegst, dass der kleinste sinnvolle Wert für die 1 ist und kleiner als ist, dann suchst Du das für das gilt: Hier kannst Du den Logarithmus zur Basis 2 (ld) benutzen, der taucht in solchen Betrachtungen öfters auf: ld(2^n) ld(100*n) n*ld(2) ld(100) ld(n) ld(n) ld(100) ld(n) . ld(n) Das bedeutet, dass entweder so klein ist, dass ld(n) negativ ist, was aber der Annahme dass ist widerspricht, oder dass ist. Offensichtlich gilt Das Konstrukt ld(n) taucht sehr häufig auf, da ist es gut zu wissen, dass gerade für . für ld(n) eine recht gute Näherung gilt: ld(n) Wendet man das an, erhält man: . Da man hier mit einer Annäherung und nicht exakt gearbeitet hat, würde man das Ergebnis noch durch Einsetzen von und in die Ausgangsungleichung bestätigen. Es könnte auch vorkommen, dass man ein Ergebnis zwischen und erhält und trotzdem beide Einsetzungen nicht die Ausgangsungleichung erfüllen, dann muss man daran denken, dass durch die Annäherung auch die gesuchte Lösung sein könnte, denn wie man sieht ist die Näherungslösung mit unterhalb der von Roman-22, der das sicher wesentlich exakter angenähert hat, als dass das eine Gerade über ein so großes Intervall könnte. PS: für noch größere gibt es auch eine gute Annäherung mit . Diese lassen sich gut merken: Einzig die 7 zu Beginn "schert" etwas aus dem Schema aus... |
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