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Ungleichung umd Supremum bzw. Infimum

Universität / Fachhochschule

Tags: Infimum, Reelle Zahlen, Supremum, Ungleichung

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12:27 Uhr, 22.10.2014

Hallo!

Ich bräuchte bitte bei folgenden Beispielen eure Hilfe.

Und zwar muss ich bei folgender Ungleichung die Lösungsmenge bestimmen:

\frac{(x + 2) ∣ x^{2} - 1 ∣}{x + 1} > 4

Wenn ihr mir kurz erklären könnt, wie das mit dem Betrag funktioniert.

Und bei folgenden Beispielen muss ich untersuchen, ob diese Mengen reeler Zahlenbeschränkt sind, und ggf. Supremum und Infimum bestimmen.

{x:x=1+

\frac{(- 1)^{n}}{n}, n \in N

}

{x:x=

\frac{n}{n + 1} - \frac{1 - (- 1)^{n}}{2 n}, n \in N

}

{x:x=u+

\frac{1}{u}, 0 < u < 11

}

{x:x=

x^{2} + 3 x + 1 > 5, x < 0

}

Kann mir das bitte jemand erklären?

Danke euch!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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12:34 Uhr, 22.10.2014

Du musst nur die Fallunterscheidung machen. Wenn

x^{2} - 1 \geq 0

, dann ersetzt Du

∣ x^{2} - 1 ∣

durch

x^{2} - 1

, und wenn

x^{2} - 1 < 0

, dann ersetzt Du

∣ x^{2} - 1 ∣

durch

- x^{2} + 1

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12:38 Uhr, 22.10.2014

Ok danke!

Und kannst du mir das mit Supremum/Infumum bitte erklären?
LG

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12:39 Uhr, 22.10.2014

1 + \frac{(- 1)^{n}}{n}

ist beschränkt, weil

∣ \frac{(- 1)^{n}}{n} ∣ = \frac{1}{n} \leq 1

,

deshalb

0 \leq 1 - ∣ \frac{(- 1)^{n}}{n} ∣ \leq 1 + \frac{(- 1)^{n}}{n} \leq 1 + ∣ \frac{(- 1)^{n}}{n} ∣ \leq 2

.

Und Supremum ist

3 / 2

, denn diesen Wert erreichst Du bei

n = 2

und bei allen anderen

n

hast Du einen kleineren Wert (beweise das).

Und so geht es weiter.

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12:45 Uhr, 22.10.2014

Aber Supremum ist nicht immer Maximum, in machen Fällen wir es nicht erreicht, wie z.B. für

u + 1 / u

, wo

5 < u < 11

. Hier ist Supremum

11 + 1 / 11

.

Und wenn

0 < u < 11

, wie in Deiner Aufgabe, dann ist Supremum=

+ \infty

, die Funktion ist unbeschränkt.

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13:11 Uhr, 22.10.2014

Kannst du mir das erste davon Schritt für Schritt erklären?
Das mit beweisen usw.

Danke dir!

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13:33 Uhr, 22.10.2014

Was ist "das erste"? Und welche Beweise meinst Du?

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13:38 Uhr, 22.10.2014

Das erste von den Supremum/Infimum Beispielen.

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13:59 Uhr, 22.10.2014

Ich habe meine Zweifel, ob Dir das viel bringt, aber wenn Du willst, hier die komplette Lösung für die erste sup-inf-Aufgabe:

Für gerade

n

gilt

1 + \frac{(- 1)^{n}}{n} = 1 + \frac{1}{n}

,
für ungerade

n

gilt

1 + \frac{(- 1)^{n}}{n} = 1 - \frac{1}{n}

.
Deshalb für gerade

n

gilt

1 \leq 1 + \frac{(- 1)^{n}}{n} \leq 1 + \frac{1}{2} = 1.5

und
für ungerade

n

gilt

0 \leq 1 + \frac{(- 1)^{n}}{n} \leq 1

.
Also ist insgesamt die Folge

1 + \frac{(- 1)^{n}}{n}

beschränkt mit

0 \leq 1 + \frac{(- 1)^{n}}{n} \leq 1.5

.
Die Werte

0

und

1.5

werden angenommen bei

n = 1

und

n = 2

entsprechend,
deshalb ist

min {1 + \frac{(- 1)^{n}}{n}} = 0

und

max {1 + \frac{(- 1)^{n}}{n}} = 1.5

.
Und wenn Minimum existiert, ist es gleich Infinum, entsprechend ist Supremum=Maximum, sofern das letzte existiert.
Also,

inf {1 + \frac{(- 1)^{n}}{n}} = 0

und

sup {1 + \frac{(- 1)^{n}}{n}} = 1.5

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15:16 Uhr, 22.10.2014

Hallo!

Ich hab für das 2. inf/sup beispiel
Für gerade n 1 <= ... <= 1/3
Für ungerade n -1/2 <= ... <= 1

Das passt ja nicht!

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15:21 Uhr, 22.10.2014

Leider verstehe ich überhaupt nicht, was Du meinst.

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15:26 Uhr, 22.10.2014

Für gerade n

1 < = \frac{1}{n + 1} - \frac{1 - (- 1)^{n}}{2 n} < = 1 / 3

Für ungerade n

- 1 / 2 < = \frac{1}{n + 1} - \frac{1 - (- 1)^{n}}{2 n} < = 1

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15:42 Uhr, 22.10.2014

Ich weiß nicht, voher Du das nimmst. Aber das stimmt natürlich nicht.

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15:43 Uhr, 22.10.2014

\frac{1 - (- 1)^{n}}{2 n} = 0

für gerade

n

und

= \frac{1}{n}

für ungerade

n

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15:52 Uhr, 22.10.2014

Ich habs nach dem 1. Beispiel nachgemacht. Anscheinend falsch...
Kannst du mir bitte das 2. Beispiel erklären?

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16:05 Uhr, 22.10.2014

Für gerade

n

hast Du einfach

\frac{n}{n + 1}

und für ungerade

n

dann

\frac{n}{n + 1} = \frac{n}{n + 1} - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n}

.
Deshalb stimmt Deine Ungleichung für ungerade

n

- 1 / 2 \leq \frac{n}{n + 1} - \frac{1 - (- 1)^{n}}{2 n} < 1

, aber
für gerade hast Du

0 \leq \frac{n}{n + 1} - \frac{1 - (- 1)^{n}}{2 n} = \frac{n}{n + 1} < 1

.
Deshalb gilt

inf = min = - 1 / 2

, denn dieser Wert wird erreicht.
Für Supremum aber gilt

sup = 1

, obwohl kein Maximum existiert.
Das folgt daraus, dass

\frac{n}{n + 1} - \frac{1 - (- 1)^{n}}{2 n} < 1

für alle

n

und außerdem existiert

lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1} - \frac{1 - (- 1)^{n}}{2 n} = 1

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