Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Ungleichung unendliche Summe

Ungleichung unendliche Summe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Unendliche Summe

MalibuRazz aktiv_icon

16:48 Uhr, 18.10.2021

Hallo, ich soll zeigen, dass

l^{p} (ℝ) := {x \in R^{ℕ} : ∣ ∣ x ∣ ∣_{p} := (\sum_{i = 1}^{\infty} ∣ x_{k} ∣^{p})^{\frac{1}{p}} < \infty}

für

1 \leq p < \infty

ein normierter Raum ist und die Hölder-Ungl. gilt. Die ersten beiden Norm-Axiome sind trivial, aber die

Δ

-Ungleichung bereitet mir Schwierigkeiten...

Ich weiß, dass folgendes für endliche Reihen in

R^{n}

mit

∣ x ∣_{p} = (\sum_{i = 1}^{n} ∣ x_{k} ∣^{p})^{\frac{1}{p}}

gilt:
(i)

∣ x + y ∣_{p} \leq ∣ x ∣_{p} + ∣ y ∣_{p}

(ii)

∣ x y ∣ \leq ∣ x ∣_{p} ∣ y ∣_{q}

mit

p, q

dual

Wie übertrage ich das auf unendliche Reihen?
Meine Idee wäre ich betrachte

\sum_{i = 1}^{\infty} ∣ x_{k} y_{k} ∣ = l i m_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ∣ x_{k} y_{k} ∣

und verwende (ii) (analog für (i)), ich weiß aber nicht ob das geht. Ich denke man muss auch die Endlichkeit der Summe in

l^{p}

ausnutzen.

Freue mich über jeden Tipp!

DrBoogie aktiv_icon

16:54 Uhr, 18.10.2021

Ein Tipp: im Netz suchen, denn natürlich steht dieser Beweis dort 1000mal.
Sogar in Wikipedia: de.wikipedia.org/wiki/Minkowski-Ungleichung (unter "Formulierung für Folgen").
Aber natürlich kannst du auch vom endlichen auf unendlichen Fall schließen, durch den Grenzwertübergang bzw. Widerspruchsbeweis.

MalibuRazz aktiv_icon

16:59 Uhr, 18.10.2021

Hallo, in der Aufgabenstellung steht, dass ich vom endlichen auf den unendlichen Fall schließen soll, allerdings ist mir noch nicht genau klar wie. Geht das denn mit dem Grenzwertübergang wie in meiner obigen Frage? Falls ja: warum genau? Würde mich über Antworten freuen

DrBoogie aktiv_icon

17:05 Uhr, 18.10.2021

Das ist vielleicht am einfachsten so zu machen:
angenommen, die Ungleichung gilt nicht immer. Dann gibt's Folgen

x_{n}

y_{n}

mit

(\sum_{k = 1}^{\infty} ∣ x_{k} + y_{k} ∣^{p})^{1 / p} > (\sum_{k = 1}^{\infty} ∣ y_{k} ∣^{p})^{1 / p} + (\sum_{k = 1}^{\infty} ∣ y_{k} ∣^{p})^{1 / p}

. Dann gibt's ein

N

, so dass

(\sum_{k = 1}^{N} ∣ x_{k} + y_{k} ∣^{p})^{1 / p} > (\sum_{k = 1}^{\infty} ∣ y_{k} ∣^{p})^{1 / p} + (\sum_{k = 1}^{\infty} ∣ y_{k} ∣^{p})^{1 / p}

(das folgt daraus, dass unendliche Summe der Grenzwert der endlichen Summen ist).
Natürlich gilt dann auch

(\sum_{k = 1}^{N} ∣ x_{k} + y_{k} ∣^{p})^{1 / p} > (\sum_{k = 1}^{N} ∣ y_{k} ∣^{p})^{1 / p} + (\sum_{k = 1}^{N} ∣ y_{k} ∣^{p})^{1 / p}

, denn wir verkleinern damit nur die rechte Seite. Und das ist schon der Widerspruch, denn wir wissen, dass im endlichen Fall die Ungleichung gilt.

MalibuRazz aktiv_icon

17:08 Uhr, 18.10.2021

Ah okay vielen Dank! Und so ähnlich kann man das auch für (ii) machen?

DrBoogie aktiv_icon

17:18 Uhr, 18.10.2021

(ii) verstehe ich nicht, wie soll man

∣ x y ∣

verstehen, wenn es um Folgen geht?

MalibuRazz aktiv_icon

17:22 Uhr, 18.10.2021

Mit

∣ x y ∣

ist

\sum_{k = 1}^{n} ∣ x_{k} y_{k} ∣

gemeint bzw. mit (ii) die Hölder-Ungleichung

DrBoogie aktiv_icon

17:23 Uhr, 18.10.2021

Dann ja, ähnlich

MalibuRazz aktiv_icon

17:33 Uhr, 18.10.2021

Das heißt für (ii) gehe ich wieder davon aus, dass die Ungleichung nicht gilt und führe es auf die Grenzwertbildung

\sum_{i = 1}^{\infty} ∣ x_{k} y_{k} ∣ = l i m_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ∣ x_{k} y_{k} ∣

zurück. Ich kann dann

\sum_{i = 1}^{N} ∣ x_{k} y_{k} ∣ < \sum_{i = 1}^{\infty} ∣ x_{k} y_{k} ∣

abschätzen für geeignetes

N

, da ich mit zunehmendem Index vergrößere da ich ja Beträge aufsummiere, oder? Wo genau wurde die Voraussetzung

\sum_{i = 1}^{\infty} ∣ x_{k} ∣ < \infty

von

l^{p}

verwendet? Oder benötigen wir die gar nicht?

DrBoogie aktiv_icon

17:36 Uhr, 18.10.2021

Da hast du was Komisches geschrieben. Versuche es selbst auf die Reihe zu kriegen.

MalibuRazz aktiv_icon

17:42 Uhr, 18.10.2021

Hmm wo genau ist mein Fehler? Bzw. kann man (ii) nicht mit genau den gleichen Argumenten und Widerspruch wie in (i) zeigen?

DrBoogie aktiv_icon

17:57 Uhr, 18.10.2021

Doch, kann man.
Aber du schreibst, dass man ein

N

finden kann, so dass

\sum_{k = 1}^{N} < \sum_{k = 1}^{\infty}

gilt, dabei gilt für jedes

N

. Du machst gar nicht das, was ich gemacht habe. Das sieht nicht nach einer vernünftiger Argumentation aus bei dir.

MalibuRazz aktiv_icon

18:00 Uhr, 18.10.2021

Achso, das war nicht der Beweis, den ich geschrieben habe. Ich habe grob das wichtigste zusammengefasst bzw versucht zu verstehen wie du (i) oben gezeigt hast und ob bzw warum man analoges in (ii) machen kann

1542723

1542698

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?