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Ungleichung von Bonferroni

Universität / Fachhochschule

Tags: Ereigniss, Schnittmenge, Statistik, Ungleichung, Wahrscheinlichkeit

Thalassina

22:43 Uhr, 12.11.2015

Augabenstellung:

"Die Wahrscheinlichkeit für zwei Ereignisse seien

P (E_{1}) = 0,9, P (E_{2}) = 0,8

. Weisen Sie nach, dass dann gilt

P (E_{1} \cap E_{2}) \geq 0,7

. Formulieren Sie daraus eine allgemeine Regel (Ungleichung von Bonferroni).
Hinweis: Gehen Sie von der Formel für

P (E_{1} \cup E_{2})

aus."

Lösungsansatz:

Ich vermute mal, dass die Ereignisse unabhängig voneinander sind:

P (E_{1} \cap E_{2}) = P (E_{1}) \cdot P (E_{2}) = 0,9 \cdot 0,8 = 0,72

Bringt mich dieses Ergebnis weiter in Bezug auf die Aufgabe?! Also es ist zumindest größer als

0,7 . .

.

Der Hinweis rät mir ja, von der Vereinigungsmenge auszugehen.

P (E_{1} \cup E_{2}) = P (E_{1}) + P (E_{2}) = 0,9 + 0,8 = 1,7

Und was ist damit? Das ist auch größer als

0,7 . .

.

Ich versteh nicht ganz, wie ich jetzt daraus eine allgemeine Regel formulieren soll. Bzw. bin ich total auf dem Holzweg mit diesen Rechnungen?

Im Wikipedia-Eintrag zu der Bonferroni-Ungleichung und auch auf anderen Seiten wird eine Notation verwendet, die mir nicht geläufig ist, also ich versteh nur Bahnhof.

Ich bedanke mich jetzt schon füre eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

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08:31 Uhr, 13.11.2015

"Ich vermute mal, dass die Ereignisse unabhängig voneinander sind"

Dazu hast Du aber überhaupt keinen Anlass.
Was Du nutzen musst, ist die Formel

P (A \cup B) + P (A \cap B) = P (A) + P (B)

Thalassina

10:43 Uhr, 13.11.2015

Wie kommst du auf diese Formel?

Kann man hier auch diesen Additionssatz benutzen?

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

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10:46 Uhr, 13.11.2015

"Kann man hier auch diesen Additionssatz benutzen?"

Das ist doch genau dasselbe was auch ich geschrieben habe.

Thalassina

18:49 Uhr, 14.11.2015

Ja, stimmt, du hast recht, es tut mir Leid!

Also dann habe ich:

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) = 0,9 + 0,8 - 0,9 \cdot 0,8 = 1,7 - (0,72) = 0,98

Oder muss ich die Gleichung nach

P (A \cap B)

umformen?

P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B)

0,9 \cdot 0,8 = 0,9 + 0,8 - (0,9 + 0,8)

0,72 = 1,7 - 1,7

0,72 \geq 0

Das wäre ja dann auch größer als

0,7,

so, wie es in der Aufgabe verlangt ist. Ist das richtig so? Wie könnte ich jetzt eine allgemeine Regel daraus formulieren?

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19:00 Uhr, 14.11.2015

Nein, das ist nicht richtig.
Zuerst mal kannst Du nicht

P (A \cap B) = P (A) P (B)

schreiben, denn das gilt nur wenn

A, B

unabhängig sind, das weißt Du aber nicht.
Und dann machst Du sowieso nicht das, was gefordert ist. Du musst doch zeigen:

P (A \cap B) \geq 0.7

. Das folgt aus

P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B)

, denn
natürlich gilt

P (A \cup B) \leq 1

, damit

P (A \cap B) \geq P (A) + P (B) - 1 = . . .

Thalassina

20:30 Uhr, 14.11.2015

P (A \cup B) \leq 1,

weil die Vereinigungsmenge nicht mehr als

100 %

sein kann, oder?

Also muss ich dann einfach nur

P (A \cap B) \geq P (A) + P (B) - 1

P (A \cap B) \geq 0,9 + 0,8 - 1

P (A \cap B) \geq 0,7

?

Ist das richtig? Tut mir Leid, dass ich das nicht so schnell verstehe

: (

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20:58 Uhr, 14.11.2015

Jetzt richtig.

Thalassina

22:31 Uhr, 14.11.2015

Und die Ungleichung von Bonferroni? Oder ist die das schon? Also

P (A \cap B) \geq P (A) + P (B) - 1

? Oder gibt es da noch etwas was ich beachten muss? Kennst du ein gutes Mathelehrbuch, wo vielleicht mehr darüber steht?

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09:48 Uhr, 15.11.2015

Das ist schon eine Bonferroni-Ungleichung (es gibt mehrere mit diesem Namen).
Ein Buch kann ich nicht empfehlen, ich kenne keins wo mehr als der Beweis der Bonferroni-Ungleichungen steht (und den Beweis kann man auch Online finden). Diese Ungleichungen sind auch nicht besonders wichtig.

Thalassina

10:24 Uhr, 15.11.2015

Ok, vielen Dank für deine Hilfe und Geduld!!!

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