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Ungleichung von Tschebyscheff

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Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

Slexout aktiv_icon

20:12 Uhr, 06.01.2021

Hallo,

ich hab folgende Aufgabe gegeben:

Schätzen Sie die untere Schranke von

P (X_{1000} > 100)

mittels der Ungleichung von Tschebyscheff ab.

Es gilt

V (X_{1000}) = 55 . 555,5278

Ich hatte dies schonmal gemacht und mir fällt auf, ich tue mich schwer damit Ungleichungen aufzulösen weil ich dort die Logik nicht ganz durchblicke.

Als Beispiel:

P (| X - 5 | \leq 6)

kann man auflösen in

P (X \leq 11) + P (X \geq - 1)

Ich verstehe einfach nicht wie man auf den zweiten Term kommt. Unser Dozent hat hierzu in der Übung keine Erklärung gegeben.

Dies ist übrigens auch die Aufgabe gewesen die wir bereits bearbeitet hatten, der zweite Term kürzt sich weg, da es keine negativen Wahrscheinlichkeiten gibt. So hatte man genau die gewünschte Ungleichung gegeben und konnte das Ergebnis einfach abschätzen.

Genau das muss ich nun auf die "große" Aufgabe anwenden, so dass

X_{1000} > 100

bzw.

X_{1000} \geq 101

.

Die Ungleichung von Tschebyscheff ist ja wie folgt definiert:

P (| X - E (X) | \geq a) \leq \frac{V (X)}{a^{2}}

Den Erwartungswert von

X_{1000}

hab ich bereits berechnet und bin auf

667,1665

gekommen. Varianz ist oben gegeben.

Nun müsste ich ein a finden, so dass nach dem Umformen der Gleichung mit

+ 667,1665

auf der rechten Seite

101

steht. Hier hab ich bereits viele Werte versucht, unter anderem

566, - 566, 768

etc. Bei einem negativen a erhalte ich eine negative Wahrscheinlichkeit, was ja schonmal nicht sein kann. Ich kriege aber auch kein a gefunden, so dass ich nur noch ein

P

stehen habe, so dass ich

P (X_{1000} > 100)

erhalte.

Habe ich irgendwas falsch gemacht? Es wäre super wenn mir jemand erklären könnte wie man mit der Ungleichung umgeht. Ich hänge da länger dran und finde im Internet keine gescheiten Erklärungen dazu.

Beste Grüße
Slexout

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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20:15 Uhr, 06.01.2021

Hallo,

ist das die vollständige Aufgabenstellung?

Gruß
pivot

Slexout aktiv_icon

20:33 Uhr, 06.01.2021

Ja, Erwartungswert musste man selbst berechnen und hatte dafür folgende Gleichung:

E (X_{n}) = \frac{(n + 1) (2 n + 1)}{3 n} - \frac{n + 1}{2 n}

Somit müsste gelten:

E (X_{1000}) = \frac{(1000 + 1) (2 (1000) + 1)}{3 (1000)} - \frac{(1000) + 1}{2 (1000)} = 667,1665

Varianz ist ja bereits gegeben, so müsste man die Ungleichung eigentlich lösen können.
Ziel ist es ja ein a zu finden, so dass

P (| X - E (X) | \geq 101)

alleine steht.

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20:35 Uhr, 06.01.2021

Und wie kamst du auf die Formel für den Erwartungswert?

Slexout aktiv_icon

20:37 Uhr, 06.01.2021

Die ist gegeben. Die Ungleichung ist nur eine Teilaufgabe von ner größeren, davor musste man zeigen dass dieser Erwartungswert gilt.

pivot aktiv_icon

20:43 Uhr, 06.01.2021

Kannst du nicht die Aufgabenstellung als Ganzes posten?

Es ist schwierig einzelne Infos aus den ganzen Beiträgen sich herauszufischen, sofern sie dann überhaupt gepostet wurden.

Slexout aktiv_icon

20:46 Uhr, 06.01.2021

Klar, es ist Teilaufgabe

d

pivot aktiv_icon

21:05 Uhr, 06.01.2021

OK. Vielleicht direkt die Ungleichung von Cantelli verwenden. Das wäre meine erste Idee. Sie baut sicher auf der Ungleichung von Tschebyscheff auf.
de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_von_Cantelli

Matlog aktiv_icon

01:21 Uhr, 07.01.2021

Dein Beispiel

P (| X - 5 | \leq 6)

kann man auflösen in

P (X \leq 11) + P (X \geq - 1)

ist absoluter Blödsinn!

| X - 5 | \leq 6

bedeuted doch, dass

X

vom Wert 5 höchstens den Abstand 6 haben darf, ist also gleichbedeutend mit

- 1 \leq X \leq 11

.
Richtig wäre also

P (| X - 5 | \leq 6) = P (- 1 \leq X \leq 11) = P (X \leq 11) - P (X < - 1)

.
Und dies ist gleich

P (X \leq 11),

falls

X

keine negativen Werte annehmen kann.

Andersherum:

P (| X - 5 | \geq 6) = P (X \leq - 1

oder

X \geq 11) = P (X \leq - 1) + P (X \geq 11)

Und das ist dann wieder gleich

P (X \geq 11),

falls

X

nicht negativ sein kann.

Ist das verständlich?

Für deine Aufgabe empfehle ich

a = 567,

du kannst dich aber (wegen der Ganzzahligkeit) noch bis

a = 566,1666

herantasten (aber nicht

a = 566,1665)

. Das macht aber keinen großen Unterschied.

HAL9000

08:56 Uhr, 07.01.2021

Man kann die Komplementärwahrscheinlichkeit mit Tschebyscheff abschätzen:

P (X_{1000} \leq 100) = P (E (X_{1000}) - X_{1000} \geq E (X_{1000}) - 100) \leq P (∣ X_{1000} - E (X_{1000}) ∣ \geq E (X_{1000}) - 100) \leq \frac{V (X_{1000})}{{(E (X_{1000}) - 100)}^{2}}

Slexout aktiv_icon

12:21 Uhr, 07.01.2021

Danke für die Erklärung, dass leuchtet mir jetzt ein wenig ein wie man auf die

- 1

und

11

kommt.

Wie kommst Du auf das

a = 567

?
Ich muss die Formleln danach ja umstellen und erhalte danach:

P (X_{1000} \leq 101) + P (X_{1000} \geq 1233)

(Rein gedanklich, ohne speziell ne Rechnung anzuwenden da ich das mit den Grenzen

- 1 \leq x \leq 11

vom kleineren Beispiel einfach übernommen habe)

Dann hab ich erstens das

P (X_{1000} \geq 101)

was ich suche nirgends stehen und zweitens hätte ich 2 Wahrscheinlichkeiten die gültig wären, somit hätte ich eine zuviel und könnte die nicht wegstreichen.

Die Ungleichung von Cantelli oder die Komplementärwahrscheinlichkeit haben wir in der VL nicht kennengerlernt. Uns wurde lediglich die Ungleich von Tscheby und die Gegenwahrscheinlichkeit gezeigt, so müssten wir die Aufgabe auch damit lösen können.

HAL9000

16:18 Uhr, 07.01.2021

> die Komplementärwahrscheinlichkeit haben wir in der VL nicht kennengerlernt.

Du machst Witze, oder? Du kannst doch nicht allen Ernstes behaupten, dass du

P (A^{c}) = 1 - P (A)

nicht kennst! Das ist schlicht unglaubhaft, sowas lernt man in der ersten Stochastikstunde.

EDIT: Oder doch nur eine Begriffsunkenntnis:

Komplementärwahrscheinlichkeit = Gegenwahrscheinlichkeit (in deinen Worten)

Ich meinte eben einfach

P (X_{1000} > 100) = 1 - P (X_{1000} \leq 100)

, und dann abschätzen wie oben gezeigt mit Tschebyscheff.

Slexout aktiv_icon

16:58 Uhr, 08.01.2021

Joa, war ne Begriffsunkenntnis, danke für die direkte Aufklärung.

Die Gegenwahrscheinlichkeit war die richtige Vorgehensweise für die Aufgabe. Anhand der Formel und der super Erklärung von Matlog, wie man die Intervallsgrenzen auflöst konnte ich die Aufgabe nun lösen.

Vielen Dank an Alle

Beste Grüße
Slexout

Slexout aktiv_icon

16:59 Uhr, 08.01.2021

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