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Ungleichungen, Fixpunkte

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Funktionen

Tags: Funktion

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19:34 Uhr, 31.05.2020

Hallo! Ich habe folgende Aufgabe: Ich soll zeigen, dass für

f (a) = {\begin{array}{rcl} a + e^{- a / 2}, x \geq 0 \\ e^{a / 2}, x \leq 0 \end{array}

gilt, dass

∣ f (a) - f (b) ∣ < ∣ a - b ∣

, wobei

a \neq b

Ich hätte das Ganze jetzt mit Fallunterscheidung versucht, was aber ziemlich aufwändig ist, daher gibt es sicher einen schnelleren Weg das zu zeigen, hat jemand eine Idee wie?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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22:05 Uhr, 31.05.2020

Am Fallunterscheidung geht kein Weg vorbei, aber es gibt im Prinzip nur 3 Fälle:

a, b \geq 0

a, b \leq 0

a \leq 0 \leq b

(

b \leq 0 \leq a

folgt aus diesem wegen Symmetrie) und der Aufwand ist nicht groß.

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23:28 Uhr, 31.05.2020

Ok, danke!

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09:54 Uhr, 02.06.2020

Ich hätte doch noch eine Frage: wie schätze ich im Fall

a, b \leq 0

∣ e x p (a / 2) - e x p (b / 2) ∣

nach

∣ a - b ∣

ab? ich hab da irgendwie keine Idee dazu.

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10:04 Uhr, 02.06.2020

Mittelwertsatz

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10:13 Uhr, 02.06.2020

Könntest du mir das genauer erläutern? Ich versteh nicht ganz wie das damit gehen sollte..

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10:18 Uhr, 02.06.2020

Mittelwertsatz sagt, dass

∣ f (a) - f (b) ∣ \leq max_{x \in [a, b]} ∣ f^{ʹ} (x) ∣ ∣ a - b ∣

.
Du hast

f (x) = e^{x / 2}

. Brauchst jetzt nur Ableitung zu bilden, der Rest ist einfach.

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10:22 Uhr, 02.06.2020

ah jetzt hab Ichs, das ging ja einfach, danke!

Dann hätt ich noch eine Frage zum 3. Fall, denn da kann ich den Mittelwertsatz nicht mehr anwenden, da ich ja hier ein -b im Betrag mit drin hab

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10:24 Uhr, 02.06.2020

Der 3. Fall ist

a \leq 0 \leq b

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10:29 Uhr, 02.06.2020

Ja genau, dann habe ich ja im Betrag

∣ e x p (a / 2) - b - e x p (b / 2 ∣

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11:35 Uhr, 02.06.2020

Es scheint doch recht schwierig zu sein. :-O
Ich kann bis jetzt nur denn Fall

a \leq - b

zeigen:

Wenn

a \leq 0 \leq b

, dann gilt wegen Mittelwertsatz auf

[a, - b]

für die Funktion

f (x) = e^{x / 2}

∣ e^{a / 2} - e^{- b / 2} ∣ \leq max_{x \in [a, - b]} ∣ \frac{d e^{x / 2}}{d x} ∣ \cdot ∣ a - (- b) ∣ < \frac{1}{2} ∣ a + b ∣

.

Dann haben

∣ e^{a / 2} - b - e^{- b / 2} ∣ \leq b + ∣ e^{a / 2} - e^{- b / 2} ∣ < b + \frac{1}{2} ∣ a + b ∣ = b - \frac{1}{2} (a + b) = \frac{b - a}{2} < ∣ b - a ∣

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14:00 Uhr, 02.06.2020

Hmm das hilft mir leider nicht unbedingt weiter. Ich hatte ja die Idee, dass man exp(b/2) durch 1 abschätzen kann, aber da komm ich auch nicht weiter.

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14:33 Uhr, 02.06.2020

Upps, das Ganze ist doch einfacher.
Die Funktion ist nämlich überall differenzierbar, auch in 0.
Deshalb kann man direkt den Mittelwertsatz anwenden, ohne Fallunterscheidung.
Die Ableitung ist für positive

x

gleich

1 - 0.5 e^{- x / 2}

und für negative

x

gleich

0.5 e^{x / 2}

, damit ist sie auf einem endlichen Intervall

[a, b]

immer zwischen

0

und einer Zahl kleiner

1

. Daher hat man sofort die Abschätzung.

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14:45 Uhr, 02.06.2020

Okay, klingt logisch, aber wie wende ich den Mittelwertsatz an, wenn ich zwei verschiedene Funktionen habe?

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14:47 Uhr, 02.06.2020

Die Funktion ist eine, nur durch zwei Formeln definiert. Du brauchst nur

max_{x \in [a, b]} ∣ f^{ʹ} (x) ∣

und dieses Maximum ist immer unter 1, egal wo a und b sich befindet. Denn der Betrag der Ableitung ist links von 0 und auch rechts von 0 zwischen 0 und 1 wie ich das geschrieben habe.

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15:38 Uhr, 02.06.2020

Ok, vielen Dank für deine Hilfe!

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