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Ungleichungen: > oder < beim Ergebnis??

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Funktionen

Tags: Funktion, Ungleichung, Ungleichung Bereichsproblem, Ungleichung lösen

chemily aktiv_icon

18:55 Uhr, 14.10.2011

Hallo

〈

Ich habe Probleme bei Angeben der Lösungsmenge bei Ungleichungen. Ich komme zwar auf das ergebniss, aber meisten stimmen meine ><zeichen nicht. Ich achte selbstverständlich darauf das ><zeichen zu ändern, wenn ich durch eine negative Zahl addiere oder dividiere
So nun meine Aufgaben:
Ich schreibe zunächst mal eine hin, vielleicht reicht das ja schon!

x^{5} + 2 x^{4} - 15 x^{3} > 0

x^{3} (x^{2} + 2 x - 15) > 0

x^{3} > 0

oder

x^{2} + 2 x - 15 > 0

x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 15 > 0

{(x + 1)}^{2} > 16

| x + 1 | > 4

1.Fall

x + 1 > 4

x > 3

2.Fall

- x - 1 > 4

x < - 5

L = {. .

. das passt hier ja schonmal nicht zusammen!!

Und noch eine Frage: Kann ich bei Ungleichungen auch die pq-Formel anwenden und wie geht das dann mit den

>, <

Zeichen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Atlantik aktiv_icon

19:47 Uhr, 14.10.2011

Hallo,
ich mache mal die Klammer

x^{2} + 2 x - 15 > 0 | + 15

x^{2} + 2 x > 15

Binomanwendung

{(x + 1)}^{2} > 16 | \sqrt{}

x + 1 > \pm 4

x_{1} > 4 - 1

x_{1} > 3

x_{2} > - 4 - 1

x_{2} > - 5

Ich mag keine

p, q

Formeln.

Alles Gute

Atlantik

weisbrot aktiv_icon

19:57 Uhr, 14.10.2011

@atlantik:
deine fallunterscheidung ist nicht ganz richtig:

{(x + 1)}^{2} > 16 | \sqrt{}

| x + 1 | > 4

1.fall:

x > - 1 \Rightarrow x > 3

2.fall:

x < - 1 \Rightarrow - x - 1 > 4 \Leftrightarrow x < - 5

chemily aktiv_icon

20:16 Uhr, 14.10.2011

@weisbrot, aber genau so bin ich ja vorgegangen. und das ergebnis stimmt so nicht. Dann müsste

x

ja keiner sein als

- 5

und großer als 3?? Und was ist mit der 0?

@atlantik So stimmt das Ergebnis, aber ich dachte man muss beim Wurzelziehen eine fallunterscheidung machen, so wie ich es gemacht habe?

Oh man.. ich bin irgendwie total verzweifelt

: (

Atlantik aktiv_icon

20:20 Uhr, 14.10.2011

Ich stelle mal die Funktion ein.

Da ergibt sich, dass die Funktion für

x > - 5

und für

x > 3

Lösungen hat, die der Vorschrift genügen.
Im Bereich von 0 bis 3 gibt es nach der Zeichnung keine Lösungen.

Alles Gute

Atlantik

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weisbrot aktiv_icon

20:23 Uhr, 14.10.2011

es ging mir erstmal nur um die falsche rechnung von atlantik, was daraus für (falsche) schlüsse gezogen werden, bzw. was vorher schon falsch gelaufen ist ist eine andere sache.

chemily aktiv_icon

20:30 Uhr, 14.10.2011

ok. Aber kannst du mir dann trotzdem irgendwie noch weiter helfen?
Also es müsste rauskommen

x < 0, x > 3, x ≻ 5

]

-5;0[u]3;∞[

Shipwater aktiv_icon

20:36 Uhr, 14.10.2011

Das große Problem hier ist, dass chemily und Atlantik Ungleichungen teilweise genauso wie Gleichungen behandeln. Mit der pq-Formel kann man bei quadratischen Ungleichungen einfach nicht mehr arbeiten. Entweder man benutzt Identitäten der Art

\sqrt{x^{2}} = | x |

und rechnet dann mit Fallunterscheidungen weiter oder man bestimmt die Nullstellen der Parabel (falls vorhanden) und argumentiert dann zusammen mit der Öffnungsart. Das würde so aussehen:

x^{2} + 2 x - 15 > 0

Die Nullstellen von

x^{2} + 2 x - 15

ergeben sich mit der pq-Formel schnell zu

x_{1} = - 5 \lor x_{2} = 3

. Da der Graph von

y = x^{2} + 2 x - 15

eine nach oben geöffnete Parabel ist, kann man sich nun schnell ausmalen für welche

x

die Ungleichung erfüllt ist. Das wären natürlich

x < - 5 \lor x > 3

.
Ähnlicher Fehler findet sich bei chemily wieder. Und zwar versucht sie den Satz vom Nullprodukt auf Ungleichungen zu übertragen. "Ein Produkt (zweier Faktoren) ist größer null, wenn einer der Faktoren größer null ist" ist aber schlichtweg falsch. Man denke beispielsweise an

- 3 \cdot 3 = - 9

. Richtig hingegen wäre, dass ein Produkt zweier Faktoren positiv ist, wenn beide Faktoren zugleich positiv oder zugleich negativ sind.

weisbrot aktiv_icon

20:38 Uhr, 14.10.2011

also ich sag mal kurz was dazu:

am anfang hast du einen denkfehler: wenn du untersuchst, wann

f (x) \cdot g (x) > 0

ist, untersuchst du, wann

f (x)

UND

g (x)

gleichzeitig größer oder kleiner 0 sind.

also

x^{3} (x^{2} + 2 x - 15) > 0

1.fall

x^{3} > 0

und

x^{2} + 2 x - 15 > 0

es gilt also wegen

x^{3} > 0,

dass

x > 0,

wegen

x^{2} + 2 x - 15

gilt (siehe mein erster post), dass

x > 3,

und dass

x < - 5,

was natürlich wegen der bedingung

x > 0

entfällt.

2.fall

x^{3} < 0,

also

x < 0,

und

x^{2} + 2 x - 15 < 0

man erhält, analog wie im 1. fall,

| x + 1 | < 4,

es folgt also mit

x > - 1,

dass

x < 3,

also insgesamt

x \in (- 1,0)

. mit

x < - 1

folgt

x > - 5,

also damit

x \in (- 5, - 1)

im 1. fall ergibt sich insgesamt

x \in (3, \infty),

im 2. fall ergibt sich

x \in (- 5,0)

rundblick aktiv_icon

20:41 Uhr, 14.10.2011

f (x) = x^{5} + 2 x^{4} - 15 x^{3}

hi, darf ich da noch eine etwas andere Lösungsvariante vorschlagen:

du hast zuerst die Nullstellen der ganzrationalen Funktion ermittelt:

x_{1} = - 5

x_{2} = 0

x_{3} = + 3

In den Intervallen zwischen diesen Nullstellen muss also

f (x)

jeweils
entweder negativ oder positiv sein
Intervalle:

x < - 5

- 5 < x < 0

0 < x < 3

x > 3

also kannst du jeweils mit einem einzigen Zahlenwert aus dem jeweiligen
Intervall das Vorzeichen von

f

ermitteln:
Beispiel:
in

- 5 < x < 0

ist zB

f (- 1) = + 16 . .

. also ist für alle

x

in diesem Intervall

f (x) > 0

alles klar?
welches sind also die Lösungen?

chemily aktiv_icon

20:59 Uhr, 14.10.2011

ok.. ich muss mir das alles noch ein paar mal durchlesen, es wird langsam kompliziert für mich!

Rundblicks Antwort ist für mich gut zu verstehen, aber kann ich auch so in einer klausur vorgehen?
Also untersuche ich die Intervalle:

x < - 5 : f (- 6) = - 15 d . h

x ≻ 5

und das mach ich dann mit allen!

rundblick aktiv_icon

21:07 Uhr, 14.10.2011

Nein - dh nicht

x > 5 -

was soll der Unsinn?

im Intervall

x < - 5

hast du richtig den Beispielwert

f (- 6) < 0

ermittelt.

also ist der richtige Schluss nun so :

für alle

x < - 5

ist

f (x)

negativ, dh alle diese x-Werte gehören demnach
NICHT zur Lösungsmenge deiner Ungleichung..

usw.

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