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Ungleichungskette lösen

Universität / Fachhochschule

Tags: Kette, Ungleichung

 
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Smurf007

Smurf007 aktiv_icon

21:58 Uhr, 26.11.2019

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Wie zeige ich, dass:

94(1+1n)nk=0n1k!1+k=0n-112k<3 für n2.

Ich komme hier einfach nicht weiter.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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rundblick

rundblick aktiv_icon

22:41 Uhr, 26.11.2019

Antworten
.
"Ich komme hier einfach nicht weiter."

du solltest noch aufschreiben, was du dir schon überlegt hast und wie weit du gekommen bist :
...




Beispiel (von rechts nach links):

Beh: 1+k=0n-112k<3
es ist
1+k=0n-112k=1+[1+12+122+..+12n-1]=1+[1-(12)n1-12]=1+[2-(12)n-1]

und jetzt siehst du sicher , dass 3-(12)n-1<3... für alle n mit n2

ok ?

also: untersuche du jetzt den nächsten Teil :

Beh: k=0n1k!1+k=0n-112k

...
.


Smurf007

Smurf007 aktiv_icon

06:49 Uhr, 27.11.2019

Antworten
Achso okay Dankeschön. Wie kann ich den nächsten Teil untersuchen, bzw. Wie muss ich umformen?
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HAL9000

HAL9000

08:21 Uhr, 27.11.2019

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1) Weise nach, dass Folge an=(1+1n)n monoton wachsend ist (wird glaub ich schon in der Schule gemacht bei der Einführung von e), dann gilt im besonderen auch ana2=94 für alle n2.

2) Multipliziere per Binomischen Satz aus, d.h. (1+1n)n=k=0nnk1nk. Jetzt kannst du für jeden einzelnen Summanden

nk1nk1k!

nachweisen, d.h. für alle k mit 0kn.

3) Für alle k1 gilt trivialerweise k!2k-1, schlicht weil bis auf den ersten Faktor 1 von k! alle anderen (k-1) Faktoren mindestens die Größe 2 haben.

4) siehe rundblick

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