[Uni] LA I - Austauschsatz von Steinitz

Aufgabe:

Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum.

(i) Gilt 1 + 1 ? 0 in K und sind u1, u2 ? V , so ist die Menge {u1, u2} genau dann linear
unabhängig, wenn die Menge {u1 + u2, u1 ? u2} linear unabhängig ist.

(ii) Gilt 1 + 1 ? 0 in K und sind u1, u2, u3 ? V , so ist die Menge {u1, u2, u3} genau dann
linear unabhängig, wenn die Menge {u1 + u2, u1 + u3, u2 + u3} linear unabhängig ist.

(iii) Es sei n eine natürliche Zahl und x, u1, . . . , un ? V . Ist {u1, . . . , un} linear unabhängig
und gilt x ?? < u1, . . . , un >, so ist die Menge {u1+?1x, . . . , un+?nx} linear unabhängig
f&uml;ur alle ?1, . . . , ?n ? K.

Kurze Frage:

Kann ich diese Aufgabe komplett mit dem kleinen Austauschsatz von Steinitz lösen?

Also ich tausche 2 linear unabhänige Vektoren mit einer Linearkombination dieser Vektoren.

Also:

Ersetze u1 durch 1*u1 + 1*u2.

Ersetze u2 durch 1*u1-1*u2

usw.