Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Unitärer Vektorraum, Abbildung beweisen

Unitärer Vektorraum, Abbildung beweisen

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Körper

Vektorräume

Tags: Körper, Vektorraum

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Der-Nacht-Vogel

Der-Nacht-Vogel aktiv_icon

23:57 Uhr, 18.06.2017

Antworten
Hallo

Ich habe mehr ein strukturelles Problem, ich weiss nicht so recht was ich zeigen soll.
Aufgabe ist folgende:

Sei (V,〈.,.〉) ein unitärer Vektorraum und T∈End(V). Zeigen Sie
T ist unitär ⇔∀v∈V:〈Tv,Tv〉=〈v,v〉.

Mich interessiert nur die Richtung von rechts nach links "⇐"
Was muss ich für eine komplexe Abbildung zeigen? Re(〈Tv,Tw〉)=Re(〈v,w〉) (und analog für Im) nehme ich jetzt mal an, ist das alles oder was noch? Die Vektoraxiome auf ℂ sind ja gegeben, Linearität ist ja vom Endomorhphismus auch gegeben, Wohldefiniertheit muss man ja normalerweise noch zeigen (aber welche?)?

Im voraus besten Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

12:09 Uhr, 19.06.2017

Antworten
Hallo,

Du muss die Definiton von "unitär" klären.

Im übrigen kannst Du wahrscheinliche die Polarisierungsformel gebrauchen.

Gruß pwm
Der-Nacht-Vogel

Der-Nacht-Vogel aktiv_icon

12:50 Uhr, 19.06.2017

Antworten
"Eine unitäre Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei komplexen Skalarprodukträumen, die das Skalarprodukt erhält. Unitäre Abbildungen sind stets linear, injektiv, normerhaltend und abstandserhaltend."

Eine Abbildung f:V→W zwischen zwei komplexen Skalarprodukträumen (V,〈⋅,⋅〉V) und (W,〈⋅,⋅〉W) heißt unitär, wenn für alle Vektoren u,v∈V
〈f(u),f(v)〉W=〈u,v〉V
gilt.

Ich denke es genügt schon wenn man einfach zeigt, dass sich das Skalarprodukt erhält, oder kann man auch einfach nur die vier Eigenschaften zeigen, linear, injektiv, norm- und abstandserhaltend?

Wird die Polarisationsformel nicht ausschliesslich dafür gebraucht um induzierte Normen zu zeigen?

Gruss
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

13:20 Uhr, 19.06.2017

Antworten
Ich hatte nach der Definiton gefragt, weil einige Quellen auch verlangen, dass T surjektiv ist.

"Ich denke es genügt schon wenn man einfach zeigt, dass sich das Skalarprodukt erhält"
Ja, aber wie - wenn nicht mit der Polarisationsformel?

Gruß pwm
Der-Nacht-Vogel

Der-Nacht-Vogel aktiv_icon

13:54 Uhr, 19.06.2017

Antworten
Von surjektiv weiss ich jetzt nichts, müssen wir wohl weglassen.

Hermetisch können wir ja aus dem gegebenen kompl. Skalarprodukt folgern, damit gilt:

Re(〈T(v),T(w)〉)=12(〈T(v),T(w)〉+〈T(v),T(w)〉¯)=12(〈T(v),T(w)〉+〈T(w),T(v)〉)=12(〈v,w〉+〈w,v〉)
=12(〈v,w〉+〈v,w〉¯)=Re(〈v,w〉)

Analog für Im

Wie würde es denn mit der Polarisationsformel aussehen? Etwas mit quadrieren denke ich mal.

Gruss
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

17:20 Uhr, 19.06.2017

Antworten
Hallo,

hast Du bemerkt, dass in der "rechten Seite" der Äquivalenz (Tv,Tv) steht und nicht (Tv,Tw)?

Gruß pwm
Der-Nacht-Vogel

Der-Nacht-Vogel aktiv_icon

18:14 Uhr, 19.06.2017

Antworten
Hm, ja stimmt, da fehlt mir also noch ein Zwischenschritt.

(I):〈v,v〉+〈w,v〉+〈v,w〉+〈w,w〉
=〈v+w,v+w〉
=〈T(v+w),T(v+w)〉
=〈T(v)+T(w),T(v)+T(w)〉
=〈T(v),T(v)〉+〈T(v),T(w)〉+〈T(w),T(v)〉+〈T(w),T(w)〉

(II):〈v,v〉-i〈w,v〉+i〈v,w〉+〈w,w〉
=〈v,v〉+〈iw,v〉+〈v,iw〉+〈w,w〉
=〈v+iw,v+iw〉
=〈T(v+iw),T(v+iw)〉
=〈T(v)+iT(w),T(v)+iT(w)〉
=〈T(v),T(v)〉+i〈T(v),T(w)〉-i〈T(w),T(v)〉+〈T(w),T(w)〉

Daraus folgt:

(I)⇒〈T(v),T(w)〉+〈T(w),T(v)〉=〈w,v〉+〈v,w〉
(II)⇒〈T(v),T(w)〉-i〈T(w),T(v)〉=〈w,v〉-i〈v,w〉


Gruss
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.