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Unitarität einer komplexen Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Lineare Algebra, Matrix, Matrizenrechnung

 
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Floooooo

Floooooo aktiv_icon

19:56 Uhr, 28.03.2020

Antworten
Wie bestimmte ich die Lösungsmenge an Tupeln (s,t) damit die Matrix unitär ist?
(Aufgabe als Bild angehängt)

Hermitesch ist die Matrix, genau dann Wenn A-t=A ist, in diesem Beispiel also ein Tupel (0,t) existiert, weil dadurch die Hauptdiagonale reell wird und bei einer komplex-konjugierten Spiegelung die Matrixen identisch sind.

Unitär ist eine Matrix ja genau dann, wenn A-tA= Einheitsmatrix, d.h. wenn die einzelnen Spalten eine Orthonormalbasis bilden. Es muss also eine Spalte multipliziert mit sich selbst 1 ergeben (xktxj=1 wenn k=j und xktxj=0 für kj) und 0 wenn sie mit einer anderen Spalte multipliziert wird.

Ich habe nun mal rumgerechnet, jedoch scheint mir die Matrix sehr komplex, wenn ich versuchen will triviale Werte taktisch zu erraten. Mir erscheint als gäbe es eine systematische Variante die Lösungsmenge zu ermitteln, jedoch kam ich leider nicht darauf wie ...

Ich hoffe es kann mir jemand etwas Hilfe leisten :-)

Anmerkung 2020-03-28 195631

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
Punov

Punov aktiv_icon

00:00 Uhr, 29.03.2020

Antworten
Hi,

Aufgabe (a): Tatsächlich kannst du (0,t) mit t wählen. Das ist aber nicht das einzige mögliche Tupel. Um die weiteren zu finden, setze einfach s=a+ib sowie t=c+id und bestimmte a,b,c,d so, dass ajk=akj für j,k=1,2,3. Beginne mit den Diagonaleinträgen, die reell sein müssen (wie musst du a,b,c,d wählen, damit dies der Fall ist?).

Aufgabe (b): Hier kannst du genauso vorgehen, d.h. setze wieder s=a+ib und t=c+id, bestimme die konjugierte Matrix As,t zu As,t und transponiere dann. Schließlich setze
As,tAs,tT=I3, wobei I3 die 3×3-Einheitsmatrix ist. Dadurch kannst du a,b,c,d bestimmen.


Viele Grüße
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