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Univariate Funktion Umkehrfunktion

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LukasSinn

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21:34 Uhr, 05.03.2019

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h(x)=e^x+e^–x xo=ln3

y 0 = h (x 0)

Berechnen sie Umkehrfunktion

h - 1

an der Stelle

y 0 = h (x 0)

.

Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe. Habe leider keinen Ansatz und auch nichts im Internet gefunden.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Mathe45

21:42 Uhr, 05.03.2019

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Hast du schon

y_{0} = h (ln (3))

berechnet ?

LukasSinn

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21:47 Uhr, 05.03.2019

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Ja, da habe ich

\frac{10}{3}

rausbekommen. Aber kommt mir nicht richtig vor.

Antwort

Mathe45

21:48 Uhr, 05.03.2019

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Doch das ist richtig. Warum zweifelst du ?

LukasSinn

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21:55 Uhr, 05.03.2019

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Weil unsere Klausur ohne Taschenrechner geschrieben wird.

y 0

bestimmen ohne Taschenrechner finde ich schwer.

Antwort

Mathe45

21:57 Uhr, 05.03.2019

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Dazu brauchst du keinen Taschenrechner. Und die Definition von

l n

ist dir sicher vertraut.

LukasSinn

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22:05 Uhr, 05.03.2019

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Ja stimmt ist mir auch gerade aufgefallen. Dafür schonmal Danke. Aber wo setze ich die

\frac{10}{3}

ein jetzt ?

Antwort

Mathe45

22:06 Uhr, 05.03.2019

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Siehe zweite Zeile deiner Angabe.

LukasSinn

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22:16 Uhr, 05.03.2019

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Wie bildet man die Ableitung der Umkehrfunktion ?

Antwort

Mathe45

22:17 Uhr, 05.03.2019

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Du brauchst keine Ableitung.

LukasSinn

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22:19 Uhr, 05.03.2019

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Ist mir gerade erst aufgefallen die Aufgabe heißt berechnen sie die Ableitung der Umkehrfunktion...

Antwort

Mathe45

22:22 Uhr, 05.03.2019

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Aha !
Kennst du die Umkehrregel ?

LukasSinn

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22:23 Uhr, 05.03.2019

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Nein leider nicht.

Antwort

Mathe45

22:25 Uhr, 05.03.2019

Antworten

Bist du sicher, dass du vor einer Klausur stehst ?
de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

LukasSinn

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22:31 Uhr, 05.03.2019

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Als Umkehrfunktion hab ich x=lny/2. Das setzte ich ja nun in 1/f‘(x) ein.

Antwort

Mathe45

22:32 Uhr, 05.03.2019

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Wie hast du das gerechnet ?

Antwort

Mathe45

22:53 Uhr, 05.03.2019

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Machen wir's kurz.

h (x) = e^{x} + e^{- x} \Rightarrow h^{'} (x) = e^{x} - e^{- x}

Umkehrregel

{(h^{- 1})}^{'} (y) = \frac{1}{h^{'} (x)} = \frac{1}{e^{x} - e^{- x}}

x_{0} = ln (3); y_{0} = \frac{10}{3}

{(h^{- 1})}^{'} (\frac{10}{3}) = \frac{1}{h^{'} (ln (3))} = \frac{1}{e^{ln (3)} - e^{- ln (3)}} = \frac{3}{8}

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08:17 Uhr, 06.03.2019

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Solltest du die Umkehrregel nicht anwenden wollen ( sollen, dürfen,

. .

. ) kannst du die Umkehrfunktion mit etwas Mehraufwand bestimmen.
Da die Ausgangsfunktion für

x \geq 0

streng monoton wachsend ist, für

x \leq 0

streng monoton fallend kannst du nur intervallmäßig umkehren und bekommst

h^{- 1} (x) = ln (\frac{1}{2} \cdot (x + \sqrt{x^{2} - 4}))

bzw.

h^{- 1} (x) = ln (\frac{1}{2} \cdot (x - \sqrt{x^{2} - 4}))

Für uns relevant ist die erste Umkehrfunktion.

h^{- 1} (x) = ln (\frac{1}{2} \cdot (x + \sqrt{x^{2} - 4})) \Rightarrow {(h^{- 1})}^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}}

{(h^{- 1})}^{'} (\frac{10}{3}) = \frac{1}{\sqrt{{(\frac{10}{3})}^{2} - 4}} = \frac{3}{8}

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