Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Unmögliche Lösungsmenge?

Unmögliche Lösungsmenge?

Schüler Gymnasium,

Tags: Algebra, Algebraische Gleichungen, Lösungsmenge angeben, quadratisch gleichung, Reelle Zahlen

reckoner97 aktiv_icon

23:04 Uhr, 18.09.2022

Guten Abend alle zusammen,

ich bearbeite gerade Hausaufgaben zum Thema quadratische Gleichungen. Zur Einordnung des Niveaus; ich bin Schüler eines Abendgymnasiums im nun zweiten Jahr von vier.

Die Aufgabenstellung: Für welche

t

∈

R

hat die Gleichung zwei Lösungen bzw. genau eine Lösung bzw. keine Lösung? Gib jeweils die Lösungsmenge an.

Die Gleichung:

2 x^{2} + 1 = t x^{2} + 2

Mein Ansatz war es nun, die "gewünschte" Lösung nun einfach für

x^{2}

einzusetzen und auf

t

aufzulösen.

1. Zwei Lösungen:

x^{2} = 1,

L = {- 1; 1}

Für

x^{2}

einsetzen:

2 + 1 = t + 2

t = 1

Um zwei Lösungen zu erhalten, wäre ein mögliches

t = 1

2. Keine Lösung:

x^{2} = - 1,

L

∈

R = {}

Einsetzen:

- 2 + 1 = - t + 2

- 3 = - t

t = 3

Um keine Lösung zu erhalten, wäre ein mögliches

t = 3

Und nun kommt die Krux:

Wenn ich ein

t

finden möchte, welches für

x

nur eine Lösung zulässt, müsste

x

ja zwangsläufig 0 sein, da es, so wie ich es verstehe, nur ein

x^{2}

gibt, welches eine Lösung hat und zwar

0^{2}

. Wenn ich nun versuche dies in die Gleichung einzusetzen:

2 \cdot 0^{2} + 1 = t 0^{2} + 2

1 = 2

entsteht ein Widerspruch.

Rein intuitiv kann es ja auch keinen Faktor

t

geben, welcher diese Null in irgendeiner Weise verändert, sodass das "Ungleichgewicht" von

1 = 2

"bereinigt" wird. (Sehr laienhaft gesprochen, tut mir leid.) Nun könnt ihr mir weiterhelfen? Habe ich einen riesigen Denkfehler drinnen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

23:26 Uhr, 18.09.2022

Dein Zugang ist nicht wirklich systematisch.
Du hast die Gleichung

2 \cdot x^{2} + 1 = t \cdot x^{2} + 2

wobei

t

ein Parameter ist
Löse die Gleichung vorerst "formal" nach

x

auf.

2 \cdot x^{2} + 1 = t \cdot x^{2} + 2

| - t \cdot x^{2}

2 \cdot x^{2} - t \cdot x^{2} + 1 = 2

| - 1

und links

x^{2}

ausklammern

x^{2} \cdot (2 - t) = 1

x^{2} = \frac{1}{2 - t}

\Rightarrow

x_{1} = + \sqrt{\frac{1}{2 - t}}

und

x_{2} = - \sqrt{\frac{1}{2 - t}}

. .

. und nun überlege.

Respon

23:52 Uhr, 18.09.2022

Und ?
Hast du dir schon etwas überlegt ?

reckoner97 aktiv_icon

00:03 Uhr, 19.09.2022

Bin gerade am überlegen haha. Also grundsätzlich hat es mir erstmal sehr geholfen zu sehen wie du es auf diese allgemeine Form gebracht hast. Eine Frage: ist meine Annahme, dass

x = 0

sein muss, damit die Gleichung nur eine Lösung hat falsch? Weil in der Form √1/2-t (kriege es nicht so formatiert wie du sorry..) ist das ja auch nicht möglich.

Respon

00:14 Uhr, 19.09.2022

Gehen wir der Reihe nach vor.
Der Radikand ist ein Bruch.
Für welche

t \in ℝ

ist der Bruch nicht definiert ( und damit auch nicht die Quadratwurzel ) ?

\Rightarrow

für

t = 2

gibt es keine Lösungen.
Es bleiben noch

t > 2

bzw.

t < 2

ℝ

ist eine Quadratwurzel nur definiert, wenn der Radikand

\geq 0

ist.
Für

t < 2

ist der Bruch

> 0 \Rightarrow

es gibt zwei verschiedene Lösungen
Für

t > 2

ist der Bruch

< 0,

die Quadratwurzel ist in

ℝ

nicht definiert

\Rightarrow

keine Lösungen.
Genau eine Lösung wäre nur möglich, wenn

x_{1} = x_{2} = 0,

wenn also der Radikand

\frac{1}{2 - t}

den Wert 0 annimmt. Für welches

t \in ℝ

ist das der Fall ?

reckoner97 aktiv_icon

00:28 Uhr, 19.09.2022

Ich stehe wirklich auf dem Schlauch. Gibt es ein solches t? Man müsste ja 1 durch irgendeine Zahl teilen um 0 zu bekommen, aber so eine Zahl kann ich mir einfach nicht herleiten.. Du kannst mir nun gerne die volle Lösung geben :-D)

Respon

00:34 Uhr, 19.09.2022

Ein Bruch nimmt den Wert 0 an, wenn

1)

der Bruch definiert ist

2)

der Zähler

= 0

ist.
Für

t \neq 2

wäre zwar der Bruch definiert, da aber der Zähler konstant 1 ist, kann er niemals den Wert 0 annehmen.

Zusammenfassung:
Für

t < 2

zwei verschiedene Lösungen
Für

t \geq 2

keine Lösungen.
Der Fall "genau eine Lösung" kann hier niemals eintreten.

reckoner97 aktiv_icon

00:39 Uhr, 19.09.2022

Okay. Das heisst also meine Intuition war an sich nicht falsch? Es hat mir trotzdem wirklich enorm geholfen zu sehen, wie systematisch und allgemein du die Antwort formuliert hast, während ich quasi nur mit einzelnen Zahlen herumgestochert habe und dadurch auch zu keiner allgemeinen Antwort kommen konnte. Ich werde das in Zukunft echt als Referenz benutzen wie man an solche Fragen herangehen sollte. Danke!

Respon

00:43 Uhr, 19.09.2022

"Gib jeweils die Lösungsmenge an."
Da fehlt noch die allgemeine Formulierung.

reckoner97 aktiv_icon

00:56 Uhr, 19.09.2022

Das wäre dann:

wenn

t < 2

dann

L = {- \sqrt{\frac{1}{2 - t}}; + \sqrt{\frac{1}{2 - t}}}

wenn

t \geq 2

dann

L = {}

oder?

reckoner97 aktiv_icon

00:57 Uhr, 19.09.2022

Das wäre dann:

wenn

t < 2

dann

L = {- \sqrt{\frac{1}{2 - t}}; + \sqrt{\frac{1}{2 - t}}}

wenn

t \geq 2

dann

L = {}

oder?

Respon

01:00 Uhr, 19.09.2022

Passt !
Erledigt !
Morpheus wartet !
Beispiel "abhaken" !

1560514

1560501

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?