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Unstetiges, lineares Funktional?

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Analysis, Approximation, Funktion, Linear, Mathematik, Stetigkeit

anonymous

18:17 Uhr, 22.11.2020

Hallo!
Ich brauche unbedingt Hilfe...

: (

Ich suche ein lineares, unstetiges Funktional auf

(C ([0,1]), {| | \cdot | |}_{2})

.
Wobei

C ([0,1]) := {f : [0,1] \to ℝ

mit

f

stetig

}

.
Also suche ich ein

φ

mit

φ (α f + β g) = α φ (f) + β φ (g) \forall α, β \in ℝ; f, g \in C ([0,1])

Zur Stetigkeit eines Funktionals habe ich folgendes:

φ

im Punkt

f_{0} \in C ([0,1])

stetig

\Leftrightarrow φ

auf

C ([0,1])

stetig

\Leftrightarrow φ

beschränktes Funktional

Beschränkt bedeutet:

\exists C > 0

sodass

\forall f \in C ([0,1]) : | φ (f) | \leq C {| | f | |}_{2} = C \cdot \sqrt{\int_{0}^{1} {| f (x) |}^{2} d x}

Ich habe mir auch schon was überlegt, denke aber nicht dass es so richtig ist....

Ich habe einfach

φ (f) = a

für

a > 0

gesetzt. Also einfach konstant. Dann habe ich mir

f (x) = 0

genommen und es gilt:

| φ (f) | = a > 0 = C \cdot {| | f | |}_{2}

Somit existiert ein

f \in C ([0,1])

sodass für alle

C > 0

diese Ungleichung nicht erfüllt ist und somit ist

φ

nicht beschränkt und somit auch nicht stetig.

Linear ist

φ

auch, denn:

φ (f + g) = a + a = φ (f) + φ (g)

φ (α f) = α \cdot a = α \cdot φ (f)

Also eigentlich passt alles, aber ich bin mir nicht sicher ob es so richtig ist... Vor allem ist es ja ein konstantes Funktional... wie kann es sein, dass es nicht stetig ist...

Ich hoffe ihr könnt mir helfen... Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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18:55 Uhr, 22.11.2020

Dein

φ

ist nicht linear. Denn wenn

φ (f) = a

für alle

f

, dann hast
du

φ (f + g) = a \neq a + a = φ (f) + φ (g)

.

So einfach wird es leider nicht klappen.
Eine Möglichkeit ist über die Hamel-Basis zu gehen.
Eine andere wäre, auf diff-baren Funktionen Ableitung zu nehmen und sie durch

0

fortzusetzen auf den ganzen

C [a, b]

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19:03 Uhr, 22.11.2020

Es ist übrigens wohl sogar so, dass man ohne die Hamel-Basis wohl nichts konstruieren kann.
Das ist ein richtig krasses Ergebnis, denn die Hamel-Basis basiert auf dem Auswahlaxiom.
Das bedeutet, dass es keine unstetigen lineare Funktionale gibt, die man mit irgendeiner einfachen Formel angeben kann.
Hier die Einzelheiten:
mathoverflow.net/questions/8441/can-we-distinguish-the-algebraic-and-continuous-duals-of-a-banach-space-without

anonymous

19:41 Uhr, 22.11.2020

Hi! Danke! Ist mir auch aufgefallen eben, dass mein Funktional doch nicht linear ist... Aber von einer Hamel-Basis habe ich noch nie was gehört... Die Aufgabe ist im Ramen der Vorlesung Approximation und wir haben gerade erst Dualräume eingeführt... Habe eben noch heraus gefunden, dass die Ungleichung für die Beschränktheit oben äquivalent zu

s u p_{{| | f | |}_{2} \leq 1} | φ (f) | < \infty

ist...

- - - - - - - - - - - -

Ich suche ja ein

φ

für welches gilt, dass ein

f \in C ([0,1])

existiert, sodass für alle

C > 0

gilt:

| φ (f) | > C \cdot {| | f | |}_{2} = C \cdot \sqrt{\int_{0}^{1} {| f (x) |}^{2} d x}

Und da ich dieses

C

ja beliebig groß machen kann, MUSS

{| | f | |}_{2} = 0

. Und

\exists! f

für welches das gilt und das ist

f (x) = 0

.
Somit brauche ich ein

φ : C ([0,1]) \to ℝ

mit folgenden Eigenschaften:

1) φ

linear

2) φ

muss

f (x) = 0

auf eine Zahl abbilden, die betragsmäßig größer bzw. ungleich null ist.

Findet man da wirklich kein passendes, simples

φ

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20:20 Uhr, 22.11.2020

Natürlich nicht, denn

φ

muss

f (x) = 0

auf

0

abbilden, weil

φ

linear ist.

anonymous

20:25 Uhr, 22.11.2020

hmmm... Stimmt hab ich ganz vergessen... Dann bin ich mal gespannt was der Übungsgruppenleiter dazu sagen wird... Danke für alles!

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20:59 Uhr, 22.11.2020

Es gibt doch ein einfaches Beispiel.

φ (f) = f (0)

. Dazu betrachte die Folge der stetigen Funktionen

f_{n}

mit

f_{n} (0) = n

und

∥ f_{n} ∥_{2} \leq 1

. Das sind z.B. Funktionen, die außerhalb von

[- 1 / n, 1 / n]

gleich

0

sind, in

0

gleich

n

und sonst linear - also aus zwei geraden Stücken bestehend.

anonymous

21:24 Uhr, 22.11.2020

aber ist der Grenzwert stetig auf

[0,1]

? Also ist

lim_{n \to \infty} f_{n} \in C ([0,1])

? Weil mit der 2-Norm ist

C ([0,1])

nicht vollständig... Und: Für

n \to \infty

habe ich dann doch eine Funktion, die überall 0 ist nur bei 0 selber ist er bei

\infty

. . . Und ich suche doch

φ : C ([0,1]) - ℝ

und nicht

φ : C ([0,1]) \to ℝ \cup {\infty, - \infty}

. Dann wäre ja

φ (lim_{n \to \infty} f_{n}) = \infty \notin ℝ

.

Ich hätte damit zwar das Folgenkriterium für Stetigkeit widerlegt, aber ich bin mir nicht sicher, ob das mit

\infty

so klappt, da

\infty \notin ℝ

. . .

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21:30 Uhr, 22.11.2020

Der Grenzwert der Folge ist nicht stetig, natürlich. Aber das ist egal, das ist nicht der Punkt.
Wir müssen gar keine Grenzwerte betrachten. Für lineare Funktionale gilt nämlich: stetig genau dann wenn beschränkt. Und was ich zeige ist, dass

φ

nicht beschränkt ist. Das ist viel einfacher, als sich mit irgendwelchen Grenzwerten rumschlagen.

anonymous

21:34 Uhr, 22.11.2020

Habe auch schon an

φ (f) = f (0)

gedacht und dann mit

f_{n} = {(1 - x)}^{\frac{n}{2}}

und dann ist

φ (f_{n}) = 1 \forall n \in ℕ

und ich dachte dann ist

φ (lim_{n \to \infty} f_{n}) = 0

. Das stimmt aber nicht, denn

lim_{n \to \infty} = 0

für

x \in (0,1]

und

= 1

für

x = 0

. Und somit bin ich mir wieder nicht sicher ob der Grenzwert überhaupt in

C ([0,1])

liegt (also stetig ist) und somit im Definitionsbereich von

φ

anonymous

21:38 Uhr, 22.11.2020

Okay ich danke ihnen vielmals für die Zeit und den Aufwand! Sie haben mir sehr geholfen!

MfG Max Stuthmann

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