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Unstetigkeitsstellen bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: Algebra

anonymous

15:02 Uhr, 06.04.2004

Hallo,
Folgende Aufgaben habe ich zu lösen.

Geben Sie bei den folgenden Funktionen an, wo sie definiert sind, ob sie Unstetigkeitsstellen aufweisen, wo diese liegen und welcher Art sie sind.

f (x) = \frac{x}{1 - x} f (x) = \frac{⌈ x ⌉}{x} f (x) = \frac{1}{x {(x - 2)}^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} f (x) = \frac{1}{1 + 2^{\frac{1}{x}}}

Marian

15:35 Uhr, 06.04.2004

Hallo!

Mit der ersten Funktion ist es nicht kompliziert; Klassik:

der kritische Punkt ist in diesem Fall x = 1. Wir rechnen weiter, ob es Limes in diesem Punkt gibt:

\lim_{x \to 1 +} \frac{x}{1 - x} = - \infty \lim_{x \to 1 -} \frac{x}{1 - x} = + \infty

Also es handelt sich in diesem Punkt um die Unstetigkeitsstelle der zweiten Art (frei aus Tschechischem übersetzt; hoffentlich verstehst du, worum es mir geht).
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(2): Bei dieserFunktion bin ich nicht ganz sicher, was die Klammer im Zähler des Bruchs heisst. Jetzt kann ich dir leider nicht helfen.
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(3): In diesem Fall ist es auch nicht so kompliziert, denn:

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 2) (x - 1) \Rightarrow \Rightarrow \frac{1}{x {(x - 2)}^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} = \frac{1}{x {(x - 2)}^{2}} - \frac{1}{(x - 2) (x + 3)} = = ... = \frac{{- x}^{2} + 3 x - 1}{x (x - 1) {(x - 2)}^{2}}

Weiter ist es wichtig zu fragen, ob die Nullstellen des Polynoms im Zähler des Bruchs nicht auch die Nullstellen des Polynoms im Nenner des Bruchs sind. Das ist nicht dieser Fall! Die kritischen Punkte sind also:
x_1 = 0,
x_2 = 1,
x_3 = 2.

Es gilt aber:

| \lim_{x \to x_{k} \pm} (\frac{1}{x {(x - 2)}^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}) | = + \infty k \in {1; 2; 3}

Davon aber ganz einfach, dass es sich um die Unstetigkeitsstellen der zweiten Art handelt (in allen drei Punkten x_k, wo k die letzte angeführte Menge durchläuft)!
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(4): Es gibt in diesem Fall nur einen kritischen Punkt. Es handelt sich um x = 0. Wir studieren weiter, wie sich lim für x -> 0+ und lim fur x ->0- verhalten. Für die Situation x -> 0+ ergibt sich:

\lim_{x \to 0 +} \frac{1}{1 + 2^{1 / x}} = 0

Für die zweite Situation x -> 0- ergibt sich einfach:

\lim_{x \to 0 -} \frac{1}{1 + 2^{1 / x}} = \frac{1}{1 + 0} = 1

Limes existiert in diesem Fall nicht (1 ist nicht gleich 0), aber beide letzten Limes sind endlich!!! Es handelt sich also offensichtlich nicht um die Unstetigkeitsstellen zweiter Art, aber der ersten.

Viele Grüße
Marian

anonymous

15:53 Uhr, 06.04.2004

Hallo,

Ich habe mal eine Frage!Unstetigkeitsstellen sind doch Stellen, wo sich der Graph der Funktion verändert. Diese Stelle wäre doch bei der ersten Funktion die bei der 1! Wie kommt man da auf +unendlich und -unendlich! Was bedeutet das?

Gruss

Armin

Marian

15:59 Uhr, 06.04.2004

Hallo Armin!

Aber was meinst du mit dem Wort VERÄNDERT?

1. Veränderung im Sinne konvex X konkav (also Inflexionsfrage)

2. Veränderung im Sinne monoton steigend monoton fallend (also Extrema-Frage)

3. usw.

Man findet viele Kriterien, nach denen die Veränderung einer Funktion zu betrachten ist.

Einfach gesagt: Funktion ist dann stetig, wenn du ihr Grpaph ohne Bleistift abzusetzen skizzieren kannst!

(Aber diese Aussage ist mathematisch nicht korrekt. Es ist nur sehr sehr vereinfacht. Das habe ich nur für bessere Vorstellung angegeben, damit klar ist, was ungefähr +- die Unstetigkeit ist).

Ich denke, ich irre mich nicht!

Marian

Marian

16:06 Uhr, 06.04.2004

Vieles findest du z.B. unter www.mathematik.uni-trier.de~mueller/pdfANAI.pdf

Versuch´s einfach! Du kannst dort finden das, was du brauchst.

Aber noch zu der zweiten Aufgabe: Bis morgen kann ich die Lösung finden; hoffentlich stimmt die Bezeichnung der sgn. arithmetischer Funktionen in Deutschland und Tschechien in den meisten Fällen überein.

Marian

anonymous

16:20 Uhr, 06.04.2004

Hallo,

Ich mein damit das man sie nicht durch zeichnen kann genau. Die Funktion hat in Prinzip Sprünge! Jetzt möchte ich gerne wissen was genau die Unstetigkeitsstelle ist in der Funktion 1.

Mit freundlichen Grüssen

Achim Balzer

Marian

16:32 Uhr, 06.04.2004

Hallo!

In diesem Fall ist der "Sprung" ganz riesig!!
Man definiert die Unstetigkeitsstelle der zweiten Art in solchem Punkt x_0, wenn:

| \lim_{x \to x_{0} +} f (x) | = \infty, oder | \lim_{x \to x_{0} -} f (x) | = \infty,

Und das ist doch dieser Fall!

Noch anders gesagt:

Wenn du die Zahlen nahe Null, aber links stehend, wählst, dann ist der Funktionswert sehr groß (-> +oo). Ähnlich verhält sich die Funktion (besser Funktionswerte), wenn x eine Zahl nahe Null ist (stehend aber nach rechts von ihr).

Nimm Taschenrechner, und dann ist es dir schon alles ganz klar. Glaube mir. Ist wirklich ganz einfach.

Marian

P.S.: Alles habe ich maximal vereinfacht. Für richtige und korrekte (:-)))))) Definitionen siehe das oben angegebene Skriptum.

MarcelHu

16:50 Uhr, 06.04.2004

Hallo Armin, hallo Marian,

wenn ich die Frage von Armin richtig verstehe:

>"...Jetzt möchte ich gerne wissen was genau die Unstetigkeitsstelle ist in der Funktion 1...."

dann ist die Antwort ganz einfach:

Die Unstetigkeitstelle der Funktion ist die Stelle x_0=1

(das hatte Marian allerdings auch schon oben geschrieben, allerdings mit der Bezeichnung: kritischer Punkt. Gemeint war damit aber vermutlich nicht der kritische Punkt im Sinne von Extrema,

sondern kritisch für den Definitionsbereich ;-)).

Die Funktion f(x)=x/(1-x) ist ja überall stetig, wo sie definiert ist

(weil Summen stetiger Funktionen stetig und Quotienten stetiger Funktionen stetig, wo der Nenner von 0 verschieden ist (ich hoffe, es ist klar, was ich meine)).

Für x=x_0 stünde aber dort:

f(x_0)=f(1)=1/(1-1)=1/0

und man darf nicht durch 0 teilen!

Der Definitionsbereich ist also IR\{1}.

Und den Rest der Frage hat Marian schon beantwortet (also: um eine Unstetigkeitsstelle welcher Art es sich handelt bzw. um die Frage, wie sieht es mit den Funktionswerten in Nähe der Unstetigkeitsstelle aus.)

Wenn x gegen 1, was passiert dann mit

f(x)=x/(1-x)?

Naja, der Zähler (von f) geht gegen 1, der Nenner geht gegen 0. Also wird f wohl gegen oo gehen...

Aber Achtung:

Hier spielt das Vorzeichen des Nenners eine Rolle! Warum, dass siehst du wie folgt (du musst bei reellwertigen Funktionen einer reellen Variablen halt den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert studieren -> siehe Skript):

x -> 1+ bedeutet:

x -> 1 und x > 1. Also ist der Nenner stets < 0 (denn: für x > 1 ist 1-x < 0).

Also gilt:

lim (x->1+) f(x)=lim(x->1, x > 1) f(x)=lim(x->1, x > 1) x/(1-x)= - oo (denn: Zähler gegen 1, Nenner ist stets negativ und geht gegen 0).

Wenn nun x -> 1-, was passiert dann mit

f(x)=x(1-x)?

x-> 1- bedeutet:

x-> 1 und x < 1, also:

lim (x->1+) f(x)=lim(x->1, x < 1) f(x)=lim(x->1, x < 1) x/(1-x)=oo (denn: Zähler auch gegen 1, Nenner ist stets positiv und geht gegen 0).

Ich habe noch eine Bemerkung zur zweiten Funktion:

[x] bedeutet dort vermutlich:

Gauß-Klammer von x. Also:

g(x):=[x]:=max{z aus Z: z <=x}=die größte ganze Zahl, die kleinergleich x ist.

So, bin im Zeitdruck, mehr kann ich im Moment nicht tun...

Achja, vielleicht noch ein Hinweis:

Sollte es dir immer noch nicht klar sein, so kannst du jedenfalls die Rechnung von Marian und mir überprüfen mit derm Programm Funkyplot, welches Freeware ist und du beziehen kannst unter:

www.funkyplot.de/download.de.html

Einfach mal den Graph von x/(1-x) zeichnen lassen, und schau dir mal die Funktionswerte links von dem x-Wert 1 und rechts von dem x-Wert 1 an (und was passiert, wenn man sich von links/rechts an die 1 nähert...).

Oder gib die Funktion hier ein [auf jeden Fall die Klammer beachten:

x/(1-x) eingeben und nicht einfach nur: x/1-x]:

home.t-online.de/home/arndt.bruenner/mathe/java/plotter.htm

Viele Grüße

Marcel

Marian

15:20 Uhr, 07.04.2004

Hallo Marcel!

Von der Gauß-Klammer weiss ich. Aber diese Klammer in der Aufgabe sieht anders aus. Es kann auch sein, dass Armin schlechte Klammer gewählt hat, ohne davon zu wissen.

Also ich denke, folgende Zeichen sind nicht allgemein äquivalent:

[x] ≁ ⌈ x ⌉ ≁ ⌊ x ⌋

Die erste Klammer ist die sgn. Gauß-Klammer; die zwei anderen kenne ich, aber weiß zur Zeit schon nicht mehr, was sie näher bedeuten.

Viele Grüße
Marian

MarcelHu

15:52 Uhr, 07.04.2004

Hallo Marian,

ja, du hast Recht, das hatte ich nicht bemerkt:

Armin hatte die zweite deiner Klammern gewählt.

Die Bedeutung dieser Klammern ist ganz einfach:

Die erste und die dritte Klammer:

Das sind einfach nur 2 verschiedene Schreibweisen zur Gaußklammer (die sind also äquivalent).

Die zweite Klammer ist eng verwandt mit der Gaußklammer:

Gaußklammer ist ja sozusagen die 'Abrundungsfunktion'.

Deine zweite Klammer ist die 'Aufrundungsfunktion':

_ _

|x| := min{z aus Z: z >= x}

vgl. de.wikipedia.org/wiki/Gau%DFklammer

Viele Grüße

Marcel

Marian

16:00 Uhr, 07.04.2004

Hallo Marcel!

Ich habe es vorausgesetzt. Jederfällig danke für Erklärung.

Marian

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