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Unterbestimmte, lineare Gleichungssysteme, LGS
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Matrizenrechnung
Tags: LGS, Linear Abbildung, lineare Gelichungssysteme, Matrizenrechnung
 
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Ich rechne gerade mit linearen Gleichungssystemen. Ich komme mit den "unterbestimmten LGS" irgendwie nicht zurecht und da ich durch selbstständiges Suchen irgendwie nicht weiter komme, möchte ich hier nachfragen. Ich versuche immer zuerst alles zu 0 zu machen, das unter der Hauptdiagonalen liegt. Dann ergibt sich bei den unterbestimmten LGS ja eine 0 Zeile, das heißt mindestens 1 Zeile, in der alle Einträge 0 sind. Ich habe auch ein Beispiel von 4 Gleichungen und 4 Unbekannten wo 2 Zeilen 0 sind. Die Lösungen sind ja dann immer Mengen die von einem Parameter abhängen. Meine konkrete Frage lautet: Woher weiß ich welche Variable der Parameter sein soll? Ich hab bei keiner meiner Lösungen dasselbe wie in der Musterlösung und ich verstehe auch nicht wie die immer auf die Parameter kommen, ich kann da irgendwie kein System hinter entdecken. z.B. 2 -2 1 -3 | 2 0 0 1 3 | 1 0 0 0 0 | 0 0 0 0 0 | 0 Da steht als Lösung: und Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Meine konkrete Frage lautet: Woher weiß ich welche Variable der Parameter sein soll?" So was wie "soll" gibt's nicht. Es gibt bestimmte Willkür. Die Lösungsmengen sind im Endeffekt alle gleich, aber das sieht man mit dem bloßen Auge nicht immer sofort. Als Beispiel: wenn ich das System habe, kann ich als den Parameter wählen, dann hätte ich , , also die Lösungsmenge , beliebig (kann man auch mit ersetzen, wenn man es will). Wähle ich als Parameter, bekomme ich und , also die Lösungsmenge , beliebig. Das ist dieselbe Menge wie oben, nur anders parametrisiert. |
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Ich kann mich noch dunkel an die Vorlesung erinnern, da hab ich was aufgeschnappt, das in etwa so lautet: "Bei der Zeilenstufenform muss der Parameter dort gewählt werden, wo keine Stufe ist." Ich bin mir sicher dass das nicht genau stimmt, ich habe leider auch keine Aufzeichnungen dazu und im Skript kommt es so auch nicht vor. Deshalb konkretisiere ich meine Frage: Wenn man LGSe mit der (erweiterten) Koeffizientenmatrix löst und diese auf die Zeilenstufenform bringt, ist es dann immernoch willkürlich welchen Paramter man welcher Variable zuweist? |
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"Wenn man LGSe mit der (erweiterten) Koeffizientenmatrix löst und diese auf die Zeilenstufenform bringt, ist es dann immernoch willkürlich welchen Paramter man welcher Variable zuweist?" Ja und nein. Willkürlich, aber nur wenn es sinnvoll möglich ist. Und dort, wo "Stufe ist", kann man es (meistens) nicht sinnvoll machen. Betrachte ein einfaches Beispiel, die Stufenform heißt (1 0 1) (0 1 0) (0 0 0) wenn Du jetzt versuchst aus einen freien Parameter zu nehmen, würde es nicht funktionieren, denn die zweite Zeile definiert die Gleichung , also muss einen festen Wert haben und ist damit nicht frei wählbar. Es ist nicht immer so, dass "wo Stufe ist" der Parameter nicht frei wählbar ist, in diesem Beispiel wäre frei wählbar, obwohl da auch Stufe ist. Aber man ist auf der sicheren Seite, sozusagen, wenn man "Stufen" vermeidet. |
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OK, soweit komm ich mit. Aber dennoch, die Lösungen erschließen sich mir nicht, irgendetwas scheint mir gerade zu fehlen, deshalb schreibe ich mal eine komplette Aufgabe hin: Wie kommen die in der Lösung auf die Menge L ?  |
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Ein inhomogenes System hat als allgemeine Lösung eine konkrete Lösung + eine allgemeine Lösung des entsprechenden homogenen Systems. Oder besser mit Formeln: wenn eine konkrete Lösung von ist, dann ist die allgemeine Lösung von die Menge , wo der Lösungsraum von ist. Eine konkrete Lösung ist in diesem Fall nicht schwer zu finden. Z.B. wenn wir setzen muss sein, damit ist . Der Lösungsraum von ist . Damit ist die allgemeine Lösung . Das ist dieselbe Menge wie in der Musterlösung, nur anders dargestellt. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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