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Untergruppe Normalteiler

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Tags: Gruppen

Jennifer87 aktiv_icon

18:01 Uhr, 08.05.2011

Hi,

Ich hätte da 2 Fragen an euch , hoffe irgendwer kann mir weiter helfen:

1 .)

verstehe ich bei einem Beispiel die Angabe nicht, und zwar: " Man zeige, dass jede Untergruppe vom Index 2 ein Normalteiler ist"

. .

. was ist eine Untergruppe vom Index 2 ???

2 .)

ich sollte zeigen dass

h_{g} (x) := g \cdot x \cdot g^{- 1}

ein Automorphismus auf

(G; \cdot)

ist.
Nun habe ich schon gezeigt dass

h_{g}

von

G \to G

geht und das

h_{g}

injektiv ist fehlt also nur noch die Surjektivität oder??? kann mir da wer nen Tipp geben?

lg Jenny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

20:23 Uhr, 08.05.2011

Hallo,

siehe bzgl. Index: de.wikipedia.org/wiki/Index_%28Gruppentheorie%29

Beweis ist einfach, wenn noch Fragen sind, dann melden!

Mfg Michael

Jennifer87 aktiv_icon

22:17 Uhr, 08.05.2011

also heißt das : es gibt 2 Rechtsnebenklassen und 2 Linksnebenklassen oder?

Jennifer87 aktiv_icon

22:27 Uhr, 08.05.2011

Ich versuch den Beweis mal:

Ich hab also 2 Nebenklassen

: U

und das Komplement von

U

G,

bezeichne ich mit

U'

Ich muss ja zeigen

\forall x \in G

gilt

: x \cdot U = U \cdot x

1. Fall:

x \in U

. hier ist

x \cdot U = U \cdot x = U

ja trivial weil

U

Untergruppe ist
2. Fall:

x \notin U

:Also

x \in U',

es gilt

x \cdot U \neq U

und

U \cdot X \neq U

also muss

x \cdot U = U'

sein , das selbe gilt für

U \cdot x

also gilt

x \cdot U = U \cdot x

stimmt das so?

michaL aktiv_icon

23:10 Uhr, 08.05.2011

Hallo,

im Prinzip ist das korrekt. Nur die Schreibweise

U ʹ

deutet auf eine Untergruppe hin (hast du aber nicht geschrieben), vielleicht solltest du das anders aufschreiben.

Dass für

x \notin U

gilt

x U = U x

könnte prägnanter herausgearbeitet werden, ist - wie gesagt - aber im Prinzip schon ok.
Tipp: Es gibt ja nur zwei (durchschnittsfremde) Linksnebenklassen, davon ist eine

U

. Für jedes Elemente

x \notin U

ist

x U \cap U = \emptyset

.
Für die Rechtsneben gilt aber das gleiche: 2 Stück, eine davon

U

, für jedes

x \notin U

U x \cap U = \emptyset

.
Da nun

x U \neq U \neq U x

gilt, muss

x U = U x

sein!

Mfg Michael

Jennifer87 aktiv_icon

07:52 Uhr, 09.05.2011

danke für die schnelle Hilfe

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