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Untergruppe und Restklasse

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Tags: äquivalenzklasse, Gruppen, modulo, Restklasse, Untergruppe

babadura aktiv_icon

22:10 Uhr, 09.12.2009

Hallo, Liebe Leute!

Erst mal möchte ich mich entschuldigen, dass ich beim letzten einfach verschwunden bin, ohne sich für Hilfe zu bedanken und ohne das Thema zu schliessen. Leider war ich kurze Zeit auf nem Entzug vom Internet :-D) Auf jeden Fall - Danke, es hat geklappt ;-)

Dieses mal habe ich folgendes Problem. Ich lese den Vorlesungscript und verstehe wohl etwas die ganze Zeit falsch, denn wenn ich das gelesene im Kopf durchspiele, komme ich auf ein anderes Ergebnis als auf das, auf welches ich rein theoretisch kommen sollte:

Ich zitiere einfach ein Paar Zeilen aus dem Script:

"Sei

G

eine Gruppe und

H

eine Untergruppe. Wir schreiben

g \equiv h mod H,

wenn

g^{- 1} h

aus

H

ist.

Lemma. Die Relation

g \equiv h mod H

ist ein Äquivalenzrelation.

Beweis: Für alle

g

aus

G

gilt:

g \equiv g mod H,

denn

g^{- 1} g = e

aus H. (und dann das gleiche für

g^{- 1} h

und für Transitivität.)

Die Äquivalenklasse

[g]

von

g

nennen wir Restklasse von

g mod H,

sie ist:

[

g]=gH={gh|h aus

H}

Insbesondere besteht die Restklasse des neutralen Elementes genau aus der Untergruppe H."

G \cup t,

mein Problem ist folgendes: sagen wir mal, die Verknüpfung ist

G

ist

(ℤ, +)

und

H

ist

\frac{ℤ}{6}

. Sei

g = 35

und

h = 5

. Dann ist

g^{- 1} = - 35

. Und dann ist

g^{- 1} h

doch

- 30

. und

- 30

ist keine Element aus

\frac{ℤ}{6}

. Oder sehe ich das falsch?

Meine weitere Vermutung wäre, dass unter

g^{- 1} h

element aus

[h]

gemeint ist. Allerdings dann ist ja quasi jedes

g^{- 1} h

aus H. Wo liegt mein Denkfehler? Oder verstehe ich das ganz falsch?

Weiter - Wenn eine meiner Vermutungen irgendwie auf eine gaz abgespeckte Weise richtig ist, verstehe ich nicht wie "denn

g^{- 1} g =

e" den Ausdruck "g-=g

mod

H" beweist. Ja, die beiden Aussagen stimmen, aber ich sehe/verstehe nicht, wie aus einer das andere folgt.

und noch "Insbesondere besteht die Restklasse des neutralen Elemenetes genau aus der Untergruppe H". Ist damit das vielfache von 6 gemeint(wenn wir an meinen bestimmt ganz verkehrten Beispiel denken)?

Irgendwie kann ich das alles nicht zusammen ziehen und daraus was logisches erhalten. Ich bitte um Eure Aufklärung.

Mit freundlichen Grüßen
Babadura

hagman aktiv_icon

22:17 Uhr, 09.12.2009

ℤ / 6 ℤ

ist keine Untergruppe von

ℤ

.
Du meinst vermutlich

H = 6 ℤ

(und das ist sogar ein Normalteiler und der Quotient

G / H

ist dann

ℤ / 6 ℤ)

. Dass man

ℤ / 6 ℤ

"hat" (zunächst als Menge von Äquivalenzklassen, auf der

G

operiert, und Dank Normalteiler auch als Gruppe), ist ja erst eine Folge dieses Lemmas.

Weiter - Per Definition ist

x \equiv y mod H

dasselbe wie

x^{- 1} y \in H

.
Wegen

g^{- 1} g = e

und

e \in H

(wie es für jede Untergruppe gilt) folgt (wir haben einfach

x = g

und

y = g) g \equiv g mod H

babadura aktiv_icon

22:56 Uhr, 09.12.2009

Ja, tut mir leid, ich meinte natürlich

\frac{6}{ℤ}

(wie kriege ich einen normalen schrägstrich? :-) ) Ich verstehe nicht ganz, was Du meinst, dass es die Folge des Lemmas ist?

zu "Weiter - Per Definition ist x≡ymodH dasselbe wie x-1y∈H." Ich glaube das ist eben das Problem bei mir, denn wie ich es sehe, muss

x^{- 1} y

nicht unbedingt aus

H

sein, damit

x \equiv y mod H

ist.

Na ja, in deinen Worten ist wohl die Erklärung drin, aber ich glaube das etwas ausführlicher, denn meine Verwirrung ist immer noch nicht weg.

Ach ja, immerhin, das mit

g^{- 1} g = e

habe ich verstanden. :-D) Danke

hagman aktiv_icon

23:03 Uhr, 09.12.2009

Wenn du nicht glaubst, dass

g - 1} h \in H

sein muss, damit

g \equiv h mod H

gilt, dann schau dir bitt

e

die in deinem ersten Post angegebene Definition von

\equiv mod H

babadura aktiv_icon

23:13 Uhr, 09.12.2009

Tue ich seid 4 Stunden. Aber gut, danke.

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