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Untergruppe von GL(2,C)

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Gruppen

Komplexe Zahlen

Matrizenrechnung

Tags: Gruppen, Komplexe Zahlen, Matrizenrechnung, Untergruppe, Zentrum

Bibsel aktiv_icon

22:46 Uhr, 02.05.2014

Guten Abend :-)

Ich habe mal wieder eine Frage...
Folgende Aufgabe habe ich zwar bearbeitet, fühle mich jedoch nicht wirklich fit in dem Themenbereich Normalteiler usw (weshalb ich auch bei anderen Aufgaben große Schwierigkeiten habe), aber vielleicht kann jemand von euch mal drüberschauen und eine Hilfestellung geben, falls ihr Fehler findet.
Danke schonmal im Voraus!

Hier die Aufgabe:
Gegeben sind die folgenden kompleen (2,2)Matrizen

E := (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}); I := (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}); J := (\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}); K := (\begin{matrix} - i & 0 \\ 0 & i \end{matrix})

Zeigen Sie, dass

G = {E, - E, I, - I, J, - J, K, - K}

eine Untergruppe von GL(2,C)ist.
Geben Sie alle UNterguppen von

G

an. Welche snd Normalteiler?
Berechnen Sie das Zentrum.

1. Zeigen Sie, dass

G = {E, - E, I, - I, J, - J, K, - K}

eine Untergruppe von GL(2,C)ist.
Untergruppenaxiome:

i) U

enthält das neutrale Element;
ii) sind

h_{1}, h_{2} \in U,

so ist auch

h_{1} h_{2} \in U;

iii) ist

h \in U,

so ist auch

h^{- 1} \in U

.

Zu

i)

E

ist das neutrale Element, und

E \in G

Bsp.:

E \cdot I = I

\Rightarrow

erstes Untergruppenaxiom ist erfüllt.

Zu ii)
Ich krieg die Verknüpfungstafel leider hier nicht wirklich brauchbar bin, habe sie jedoch auf meinem Blatt stehen.
Mithilfe dieser Tafel kann man sehen, dass die Multiplikation mit jedem Wert wieder ein Element von

G

ist.

\Rightarrow

zweites Untergruppenaxiom ist erfüllt.

Zu iii)
Wichtigste Bedigung für Inverses einer Matrix:

det \neq 0

det E = 1 \Leftrightarrow E

ist invertierbar

det - E = 1 \Leftrightarrow - E

ist invertiertbar
.
.
.

(det = 1

für alle Elemente aus

G)

E^{- 1} = E

und

E \in G

- E^{- 1} = - E

und

- E \in G

I^-1

= - I

und

- I \in G

- I^{- 1} = I

und I in

G

J^{- 1} = - J

und

- J \in G

- J^{- 1} = J

und

J \in G

K^{- 1} = - K

und

- K \in G

- K^{- 1} = K

und

K \in G

\Rightarrow

drittes Untergruppenaxiom ist erfüllt.
Also ist

G = {E, - E, I, - I, j,_{j}, K, - K}

eine Untergruppe von GL(2,C)

2. Geben Sie alle Untergruppen von

G

an

(wieder mithilfe der Verknüpfungstafel bearbeitet)
1. Untergruppe:

{E},

2. Untergruppe:

{E, - E}

3. Untergruppe:

{E, - E, I, - I}

4. Untergruppe:

{E, - E, J, - J}

5. Untergruppe:

{E, - E, K, - K}

6. Untergruppe:

G : {E, - E, I, - I, J, - J, K, - K}

also hat

G 6

Untergruppen, 4 weitere, neben den offensichtlichen (der trivialen, die nur aus dem neutralen Element besteht und

G

selbst)

3. Welche sind Normalteiler?
Definition: Ist

G

eine Gruppe und

U

eine Untergruppe von

G,

so heißt

U

Normalteiler in

G,

wenn aU=Ua für alle

a \in G

gilt.
Jede Gruppe hat mindestens zwei Untergruppen als Normalteiler.
1.

{E}

ist ein Normalteiler, denn

a \cdot E = E \cdot a (= a)

(für

a \in G)

{E, - E}

ist ein Normalteiler
3.

{E, - E, I, - I, j,_{j}, K, - K}

ist ein Normalteiler
(das kommt mir falsch vor, falls es richtig ist: wie kann ich es denn "beweisen"?)

4. Berechnen Sie das Zentrum
Definition:

G

sei eine Gruppe. Dann heißt

Z (G) : {a \in G | \forall b \in G :

ab=ba

}

a sei

E :

für jedes

b \in G

gilt: Eb=bE

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} \end{matrix})

(\begin{matrix} b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} \end{matrix})

a sei

- E :

für jedes

b \in G

gilt: -Eb=b*(-E)

(\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - b_{1} & - b_{2} \\ - b_{3} & - b_{4} \end{matrix})

(\begin{matrix} b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - b_{1} & - b_{2} \\ - b_{3} & - b_{4} \end{matrix})

Z (G) = {E, - E}

Ich danke euch, wie oben schon gesagt, für eure Hilfe
schönes Wochenende,
LG,
Bibsel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

23:18 Uhr, 02.05.2014

Diese Gruppe heißt Quaternionengruppe

Q_{8}

, Du kannst einige Infos über sie im Netz finden. Z.B. dass jede ihre Untergruppe ein Normalteiler ist und dass ihr Zentrum =

{\pm E}

, wo

E

- die Einheitsmatrix ist.

Update. Und für den Beweis brauchst Du eigentlich nur die volle Verknüpfungstafel, welche Du schon hast, wie Du gesagt hast. Z.B. dass im Zentrum nur die Elemene

\pm E

liegen, liest man einfach direkt von dieser Tafel ab.

Bibsel aktiv_icon

13:49 Uhr, 03.05.2014

Hallo
und danke für deine Antwort.
Tatsächlich konnte ich einige Informationen zu der Gruppe finden und auch Foren, die mir gewisserweise weiterhelfen konnten.
Ergänzt habe ich nun:

| G : U | = 2 \Rightarrow U

ist Normalteiler von

G,

| G | = 8

| E | = 1

| E, - E | = 2

| E, - E, I, - I | = 4

| E, - E, J, - J | = 4

| E, - E, K, - K | = 4

| E, - E, I, - I, J, - J, K, - K | = 8

laut Definition erfüllen alle Untergruppen mit

\frac{8}{x} = 2

die Bedingung für Normalteiler.
also:

\frac{8}{x} = 2 \Rightarrow x = 4,

also alle Gruppen, mit der Ordnung 4 sind (neben den trivialen Gruppen) Normalteiler

\Leftrightarrow

Jede Untergruppe von

G

ist Normalteiler.
Nur was ist nun mit der Untergruppe

2,

also

{E, - E}

? Für die habe ich es damit schließlich nicht bewiesen.

War der Rest eigentlich soweit richtig? Konnte aus deiner Antwort jedenfalls keine Kritik lesen.

LG,
Bibsel

DrBoogie aktiv_icon

14:48 Uhr, 03.05.2014

"Nur was ist nun mit der Untergruppe 2, also {E,-E}? Für die habe ich es damit schließlich nicht bewiesen."

Dass

{E, - E}

ein Normalteiler ist, geht ohne jegliche Theorie, einfach nach der Definition (geht auch für alle anderen Untergruppen, denn wie ich sagte, alle Eigenschaften kann man direkt prüfen, wenn man die Verknüpfungstabelle hat).
Und zwar, zu zeigen ist nur, das

A \cdot {E, - E} = {E, - E} \cdot A

für jedes Element

A

aus

G

, was natürlich erfüllt ist, denn

A \cdot E = E \cdot A

und

A \cdot (- E) = (- E) \cdot A

für alle Matrizen

A

aus

G

(eigentlich überhaupt für alle Matrizen).

Sonst hast Du alles richtig, nach meiner Meinung.

Bibsel aktiv_icon

18:20 Uhr, 03.05.2014

Super,
Ich danke dir :-)

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