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Untergruppe von GL2(R)

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Gruppen, Matrizenrechnung

Ninad aktiv_icon

21:57 Uhr, 27.05.2014

Untersuchen Sie, ob die Menge

G

{(\begin{matrix} cos (α) & - sin (α) \\ sin (α) & cos (α) \end{matrix}) | α \in ℝ}

mit der Matrizenmultiplikation eine kommutative Untergruppe von

G L_{2} (ℝ)

ist. Wenn nicht, welche Eigenschaften sind noch erfüllt?

Okay, ich weiß

G L_{2} (ℝ)

ist die Gruppe der invertierbaren

n \times n

Matrizen. Um jetzt zu zeigen, ob

G

eine Untergruppe von

G L_{2} (ℝ)

ist, muss ich die 3 Kriterien einer Untergruppe nachweisen,

d . h

i) G \times G \to G

ii) es existiert ein neutrales Element
iii) Existenz von Inversen

Wie kann ich diese Eigenschaften nun prüfen?

Ich weiß, das neutrale Element ist

I_{n},

also die Einheitsmatrix. Wenn ich

α = 0

oder

2 π

setze, dann bekomme ich die Einheitsmatrix.
Außerdem weiß ich, dass

die Inverse für

A = (\begin{matrix} cos (α) & - sin (α) \\ sin (α) & cos (α) \end{matrix})

ist

B = (\begin{matrix} cos (- α) & - sin (- α) \\ sin (- α) & cos (- α) \end{matrix}),

denn

A \cdot B = B \cdot A = I_{n}

Wie genau kann ich das nun ordentlich zu einem richtigen Beweis führen und was fehlt mir dann noch?

Vielen Dank schon mal im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

22:09 Uhr, 27.05.2014

Dir fehlt, dass mit

A

und

B

auch

A B

dort liegt.
Übrigens heißt diese Gruppe

S O (2)

, also kannst Du den Beweis der Gruppeneigenschaften auch im Netz bestimmt finden, wenn Du nach

S O (2)

suchst.

Ninad aktiv_icon

23:43 Uhr, 27.05.2014

Hmm habe im Netz für SO(2) nichts gefunden, was mir weiter hilft. Wie zeige ich zB, dass es ein neutrales Element gibt? Kann ich da einfach sagen, setze

α = 0

? Aber es gilt ja auch für

α = 2 π

DrBoogie aktiv_icon

07:10 Uhr, 28.05.2014

"Wie zeige ich zB, dass es ein neutrales Element gibt? Kann ich da einfach sagen, setze

α = 0

?"

Narütlich.

"Aber es gilt ja auch für

α = 2 π

"

Das ist dasselbe Element.

Sonst ist das Einzige, was noch zu zeigen ist:
wenn man

(\begin{array}{rcl} \cos (φ) & \sin (φ) \\ - \sin (φ) & \cos (φ) \end{array}) (\begin{array}{rcl} \cos (ψ) & \sin (ψ) \\ - \sin (ψ) & \cos (ψ) \end{array})

ausrechnet, kommt

(\begin{array}{rcl} \cos (φ + ψ) & \sin (φ + ψ) \\ - \sin (φ + ψ) & \cos (φ + ψ) \end{array})

raus.

Ninad aktiv_icon

18:12 Uhr, 28.05.2014

Okay, also was ich bis jetzt habe:

1. zu zeigen:

Es existiert ein neutrales Element in G.

Setze

α = 0,

dann erhalten wir:

(\begin{matrix} cos (0) & - sin (0) \\ sin (0) & cos (0) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = I_{n}

Demnach existiert ein neutrales Element in G.

(Muss ich jetzt noch irgendwie erwähnen, dass das gleiche für

α = 2 π

gilt, oder reicht das so?)

2. zu zeigen:

zu jeder Matrix

A \in G

existiert ein Inverses Element

A^{- 1}

mit

A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A = I_{n}

Die Rechnung schreibe ich jetzt nicht auf, aber ich habe mit Hilfe des Verfahrens von Gauß-Jordan berechnet, dass die Inverse

(\begin{matrix} cos (α) & sin (α) \\ - sin (α) & cos (α) \end{matrix})

ist.

Also

(\begin{matrix} cos (α) & sin (α) \\ - sin (α) & cos (α) \end{matrix}) = A^{- 1}

für alle

α \in ℝ

.

(Ich habe sie ja nur berechnet, muss ich das jetzt noch beweisen, dass es auch stimmt? Wenn ja, wie?)

Okay, wie kann ich jetzt zeigen, dass

G

Teilmenge von

G L_{2} (ℝ)

ist und dass wenn

A, B \in G,

dann auch

A \cdot B \in G

DrBoogie aktiv_icon

21:14 Uhr, 28.05.2014

"Muss ich jetzt noch irgendwie erwähnen, dass das gleiche für

α = 2 π

gilt, oder reicht das so?)"

Musst Du nicht.

"Okay, wie kann ich jetzt zeigen, dass G Teilmenge von

G L 2 (ℝ)

ist"

Berechne die Determinante eines Elementes aus

S O 2

uns sehe, dass sie nicht

0

ist (eigentlich ist sie immer

1

).

"und dass wenn

A, B \in G

, dann auch

A \cdot B \in G ?

"

Ich habe doch oben geschrieben, was Du tun musst. Du musst zwei Matrizen miteinander multiplizieren und sehen, dass das Ergebnis die von mir angegebene Form hat, also auch in

S O 2

liegt.

Ninad aktiv_icon

22:31 Uhr, 28.05.2014

Okay alles klar :-) ich glaube, ich habe den Beweis jetzt fertig. Muss ich eigentlich noch etwas zur Assoziativität bzw Kommutativität zeigen?

DrBoogie aktiv_icon

23:05 Uhr, 28.05.2014

Musst Du nicht, denn dass Matrizenmultiplikation assoziativ ist, dürfte schon als bekannt gelten. Und nach Kommutativität ist nicht gefragt. Obwohl es leicht zu sehen ist, dass diese Gruppe kommutativ ist.

Ninad aktiv_icon

01:00 Uhr, 29.05.2014

Heißt es nicht in der Aufgabenstellung "untersuchen Sie, ob

G

eine kommutative Untergruppe ..." dass ich auch die Kommutativität prüfen muss?

DrBoogie aktiv_icon

12:46 Uhr, 29.05.2014

Dann habe ich es übersehen.
Sie ist kommutativ, sieht man sofort, weil

A \cdot B

immer gleich

B \cdot A

ist.

Ninad aktiv_icon

20:02 Uhr, 29.05.2014

Alles klar, vielen Dank für die Hilfe!

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