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Untergruppe von Gl(n, R)

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gl(n), Gruppen, Untergruppe

tina12 aktiv_icon

15:25 Uhr, 22.03.2013

Hallo Leute,

ich habe ein Problem mit folgende Aufgabe:

a)

Zeige für festes

C \in M (n, ℝ)

ist

G_{c} := {A \in G l (n, ℝ) : A \cdot C = C \cdot A}

eine Untergruppe von Gl

(n, ℝ)

Bedeutet AC=CA einfach nur, dass

C

das Inverse zu A ist??
Und wie gehe ich da am besten vor.

b)

Bestimme

G_{c}

für

n = 2

und

C = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

Hier weiß ich nicht mal den Ansatz!

Liebe Grüße
Tina

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

15:42 Uhr, 22.03.2013

Hallo,

> Bedeutet AC=CA einfach nur, dass C das Inverse zu A ist??

Nicht unbedingt. Etwa die Einheitsmatrix

E

, für die gilt ja (sogar unabhängig davon, ob

C

invertierbar ist)

E C = C E

.
Nein, verbalisiert bedeutet

A C = C A

, dass

A

und

C

"vertauschen" oder kommutieren. Letztlich ist die Multiplikation quadratischer Matrizen nicht (immer) kommutativ. Nun soll

G_{C}

alle diejenigen (invertierbaren) Matrizen umfassen, bei denen es egal ist, in welcher Reihenfolge sie mit

C

multipliziert werden.

> Und wie gehe ich da am besten vor.

Die Antwort ist eigentlich so trivial, dass du selbst darauf kommen müsstest: Damit eine Menge eine Untergruppe ist, müssen gewisse Axiome gelten.
Schreibe/liste diese Axiome auf und prüfe, ob sie tatsächlich gelten!

Lediglich die konkrete Umsetzung bereitet zuweilen Probleme, aber da sind wir ja noch gar nicht angekommen...

Mfg Michael

tina12 aktiv_icon

16:32 Uhr, 22.03.2013

oke. also Untergruppenkriterien sind:

(i)

U \neq \emptyset

(ii) Ist

u \in U,

dann ist auch

u^{- 1} \in U

(iii) Sind

u, v \in U,

so ist auch

u \cdot v \in U

michaL aktiv_icon

16:59 Uhr, 22.03.2013

Hallo,

tja, dann der Reihe nach!

Gilt

G_{C} \neq \emptyset

?

Mfg Michael

tina12 aktiv_icon

17:45 Uhr, 22.03.2013

Also ich würde so argumentieren.

(i)

Sei

e \in G_{c},

dann gilt für alle

a \in G_{c} : e \cdot a = a \cdot e = a \Rightarrow G_{c} \neq \emptyset

(ii) Da

a \in G_{c}

und

b \in G l (n, ℝ),

gilt

b^{- 1} \cdot a = a \cdot b^{- 1} \Rightarrow {(b^{- 1} \cdot a)}^{- 1} {(a \cdot b^{- 1})}^{- 1} = a^{- 1} \cdot b \Rightarrow

also

a^{- 1} \in G_{c}

(iii) Nach Vorraussetztung gilt ja

a \cdot c = c \cdot a,

also müsste man doch folgendermaßen umformem können:

(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) = a (c \cdot b) = (a \cdot c) \cdot b = (c \cdot a) \cdot b = c \cdot (a \cdot b)

\Rightarrow

also ist

G_{c}

Untergruppe von Gl

(n, ℝ)

michaL aktiv_icon

17:57 Uhr, 22.03.2013

Hallo,

* nicht leer ist korrekt.
*

G_{C}

ist gegen Produkte abgeschlossen ist auch korrekt.
* Bei der Abgeschlossenheit gegen Inverse hast du dich vertan.
Letztlich musst du doch folgendes beweisen:

C

invertierbar und

A \in G_{C}

, dann auch

A^{- 1} \in G_{C}

, d.h. aus

A C = C A

musst du

A^{- 1} C = C A^{- 1}

herleiten.
Der Weg folgt über das einzige, was du "weißt" über

A

, nämlich, dass

A C = C A

gilt.

Betrachte also

(A^{- 1} C) (C A^{- 1})^{- 1}

und beweise, dass da die Einheitsmatrix herauskommt.
Aus der Gleichung

(A^{- 1} C) (C A^{- 1})^{- 1} = E

folgt die gesuchte Gleichung ja sofort.

Mfg Michael

tina12 aktiv_icon

18:07 Uhr, 22.03.2013

Ja cooli. Danke! ich denke ich hab die Aufgabe verstanden!!!

=)

michaL aktiv_icon

18:14 Uhr, 22.03.2013

Hallo,

sei nicht sauer, aber bekomme ich die Lücke bei

(A^{- 1} C) (C A^{- 1})^{- 1} = \dots = E

noch zu sehen?
Nichts persönliches, aber
a) naja, ist aber nichts persönliches :-)
b) andere haben vielleicht eine gleiche Aufgabe und sind ebenfalls an der Lösung interessiert.

Mfg Michael

tina12 aktiv_icon

19:06 Uhr, 22.03.2013

Achso ja klar!

(ii) Nach Vorraussetzung gilt ja

A \cdot C = C \cdot A

. Sei

C

invertierbar und

A \in G_{c},

dann gilt

(A^{- 1} \cdot C) {(C \cdot A^{- 1})}^{- 1} = (A^{- 1} \cdot C) (C^{- 1} \cdot {(A^{- 1})}^{- 1}) = (A^{- 1} \cdot A) (C \cdot C^{- 1}) = E \cdot E = E

. Damit ist

A^{- 1}

das Inverse zu A und

A^{- 1} \in G_{c}

Hoffe die Argumentation ist so richtig!

Lieben Gruß
Tina

michaL aktiv_icon

19:41 Uhr, 22.03.2013

Hallo,

die Umformung

(C A^{- 1})^{- 1} = C^{- 1} (A^{- 1})^{- 1}

ist genau genommen nicht statthaft. Sie verwendet eine zur Behauptung äquivalente Aussage.

Mfg Michael

tina12 aktiv_icon

14:45 Uhr, 23.03.2013

zu aufgebenteil

b)

wie bestimme ich denn

G_{c}

n = 2

heißt doch bloß, dass es sich um eine

2 x 2

Matrix handelt, oder nicht?!

also es muss ja gelten, dass A und

C

kommutieren

\Rightarrow A \cdot C = C \cdot A

C

ist vorgegeben mit

C = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

. Als A habe ich mir folgendes überlegt:

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

.
Für

A \cdot C = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - b & a \\ - d & c \end{matrix})

und

C \cdot A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix} c & d \\ - a & - b \end{matrix})

\Rightarrow a = d

und

- b = c

. Aus der Matrix

C

sehe ich, dass

a = 0

und

d = 0

. Für

c

nehme ich den Wert aus

C

an der Stelle also 1 und

b

ist ja das negative von

c

also hier

- 1

. Dann erhalte ich:

A = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

Also ist

A \cdot C = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

und

C \cdot A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Also ist

G_{c} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

michaL aktiv_icon

18:10 Uhr, 23.03.2013

Hallo,

bis

a = d \land c = - b

ist alles in Ordnung.
Folgerichtig vertauschen alle Matrizen der Form

M_{a, b} = (\begin{array}{cc} a & b \\ - b & a \end{array})

mit der speziell gegebenen Matrix

C

.

Du hast aus der Matrix

C

abgelesen, dass

a = 0

gelten muss, das war ein Fehlschluss. Dei Einträge von

C

haben nicht viel mit den Einträgen der gesuchten Matrizen zu tun.

Zum Schluss noch: Man darf nicht

G_{C} = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})

schreiben. Links steht eine Menge, rechts aber nicht.
Wenn schon, dann hätte es

G_{C} = {(\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})}

heißen müssen.

Wie gesagt, korrekt wäre aber:

G_{C} = {(\begin{array}{cc} a & b \\ - b & a \end{array}) ∣ a, b \in ℝ}

(Sorry für den fehlerhaften Satz mit dem zu klein geratenen "|". Der Fehler liegt aber beim Forenprogrammierer. \left| wird nicht korrekt interpretiert.)

Mfg Michael

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