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Untergruppe von Gruppenprodukt bestimmen

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, semidirektes Produkt, Untergruppen

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20:25 Uhr, 30.04.2023

Hallo Zusammen,

Ich beschäftige mich damit, wie ich zu einer Gruppe die Untergruppen bestimmen kann.

Nun habe ich gesehen, dass es auf Wikipedia eine Seite für kleine Gruppen gibt. Für Gruppen mit höchstens 20 Elementen ist die Liste abschliessend und umfasst 53 Gruppen.
Dies muss man eben lernen.

Beispiel: Ich wollte alle Untergruppen von

(ℤ / 20 ℤ)^{\times}

bestimmen. Als ich die Aufgabe gelöst habe, ist mir eine Untergruppe entgangen und ich will deswegen überlegen, wie man strukturiert vorgehen kann, dass dies nicht passiert.

Beispiel aus dem Buch:

(ℤ / 20 ℤ)^{\times} = (ℤ / 4 ℤ)^{\times} \times (ℤ / 5 ℤ)^{\times} ≃ ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ

Ich gehe davon aus, dass man sich jetzt nur noch auf die kleinsche Gruppe

ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ

konzentriert.

Und nun folgt sofort das Resultat, aber ich sehe nicht wie.
Wie kann man nun aus der Kleinschen Gruppe das Resultat ablesen?

Die Lösung wäre:
3 Untergruppen der Ordnung 2:

< - \bar{1} >, < \bar{9} >, < - \bar{11} >

2 Zyklische Untergruppen der Ordnung 4:

< - \bar{7} >, < \bar{7} >

1 Kleinsche Gruppe

< \bar{7} >, < - \bar{1} >

(ich denke falsch)

Wie komt man darauf?

Weitere Frage: Habe ich richtig verstanden, dann man beim Gruppenprodukt dass Zeichen

\times

verwendet, wenn die Elemente miteinander verknüpfbar sind, jedoch das Zeichen

\ r t i m e s

wenn eine neue Verknüpfungsvorschrift gebildet werden muss? stimmt das so?

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