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Untergruppe von S_3 bestimmen

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Tags: Gruppen, Körper, Relation., Ring, s3, Unterruppe

eXistenZ aktiv_icon

17:57 Uhr, 25.10.2011

Hallo liebe Leute.

Ich habe noch so meine Probleme mit halbgruppen,monoide,Gruppen,und dem inversen element.

Die Aufgabe lautet: Bestimmen sie alle Untergruppen der

S_{3}

unter

S_{3}

verstehe ich alle Bijektiven Abbildungen der Menge

{1,2,3}

in sich selber.
Das wären dann 6 stück und zwar:

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix})

wobei die identische

a

. das neutrale element ist also

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix})

ist neutrales element.
Meine gruppe ist also

(S_{3}, \circ,

id)

So, es gibt ja dieses theroem, das der sagt ist

| U |

eine Untergruppe von

G,

so ist ihre Kardinalität

| U |

ein Teiler von

| G | (G

in unserem Fall

s_{3})

Sprich da

| G | = 6

gibt es nur Untergruppen der Ordnung

1,2,3,6

Für die Ordnund 1 gibt es nur eine Untergruppe, das wäre

U = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix})

Für die Ordnung 6 gibt es ebenfalls nur eine Untergruppe

U = S_{3}

So für die Ordnung 2 und 3 hab ich nun meine Probleme.
Die Ordnung sagt ja, wie viele Elemente sich in der Untergruppe befinden müssen.
Eine Untergruppe muss die eigenschaften erfüllen das

U

das gleiche neutrale element hat, das es für jedes elem a der untergruppe ein elem

a^{- 1}

finden lässt mit

a \cdot a^{- 1} =

neutrale elem
sie muss abgeschlossen bzgl. der verknüpfung sein, hab ich was vergessen?
Also durch entliches rumprobieren kam ich zum ergebnis das es für die Ordnung 2 nur 3 Untergruppen von

S_{3}

finden lassen:

U_{1} = {(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix})}, U_{2} = {(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix})}

U_{3} = {(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix})}

. Die id_abb muss ja in jeder untergruppe drin sein, darum musste ich nur noch ein Elem finden was eben zu sich selbst inverse war.

Aber bei Ordnung 3 wird es nun schwierig und ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll.

Gruß

e Ξ

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

michaL aktiv_icon

18:05 Uhr, 25.10.2011

Hallo,

du hast deine Sache schon recht ordentlich gemacht.
Bedenke bitte, dass du bei den Untergruppen der zweiten Ordnung AUCH das neutrale Element mit angeben musst, sonst wird es Ärger geben.

Schau mal, bei einer (Unter_)Gruppe der Ordnung 3 sind dann neben dem neutralen Element noch zwei weitere mit drin. Also ein Element, dessen Inverses das andere ist.
Alternativ musst du ein Element der Ordnung 3 in

S_{3}

finden, da gibt es nicht viele.

Bedenke, welche Elemente damit nichts zu tun haben können: die Elemente der Unterruppen mit Ordnung 2 können keine Elemente mit Ordnung 3 sein. Das neutrale Element ist das einzige mit Ordnung 1. Dann bleiben nicht mehr viele übrig!

Wenn du ein passendes Element

x

gefunden hast, bedenke, dass

x^{2}

x^{3}

, usw. ja eben falls in der Untergruppe sein müssen.

Mfg Michael

eXistenZ aktiv_icon

18:34 Uhr, 25.10.2011

Ups xD

ja sollte natürlich heißen

U_{1} = {(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix})} U_{2} = {(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix})} U_{3} = {(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix})}

Gut, also und die Elemente

{(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix})

dürfen nun nicht mehr in der Ordnung 3 auftauchen da sie schon in Ordnung 2 sind?

Wer sagt das oder Wo steht das, das wenn ein elem in einer Ordnung ist es nicht in der anderen Ordnung auftauchen darf?

Ok dann sagst du weiter das ich also schaun muss das ich neben dem neutralen elem noch 2 weitere elemente finde (ist auch klar, weil ordnung 3 hat immer 3 elemente)
und da muss dann das eine elem die inverse zu dem anderen elem sein?

Ich glaube damit habe ich nun schon mal eine untergruppe gefunden und zwar

U_{1} = {(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix})}

aber ich versteh dein letzten satz nicht, das wenn ich ein

x

gefunden habe das auch

x^{2}

und

x^{3}

gelten muss

michaL aktiv_icon

18:46 Uhr, 25.10.2011

Hallo,

hm, vermutlich hattet ihr den Begriff der Ordnung noch nicht (in diesem Zusmmenhang).

Zumindest bei endlichen Gruppen

G

kann man für JEDES

x \in G

ja die Potenzen

x

x^{2}

x^{3}

usw. betrachten. Wenn

G

eine endliche Menge ist, können nicht alle verschieden sein. Es muss dann verschiedene Potenzen

m, n \in ℕ^{*}

geben, sodass

x^{n} = x^{m}

gilt. OBdA sei

m > n

. Multipliziert man die Gleichung mit

(x^{n})^{- 1}

, so erhält man

e = x^{m - n}

(

e

neutrales Element).

Mit anderen Worten: Bei endlichen Gruppen gibt es für jedes Element eine Potenz des Elementes, das gleich dem neutralen Element ist. Also gibt es auch eine KLEINSTE solche Potenz. Diese nennt man die Ordnung des Elements. Sie ist also gleich der Anzahl der Elemente in der von

x

allein erzeugten Untergruppe.

Wenn ihr das noch nicht hattet, dann einfach wieder vergessen bis nächste Woche oder so.

Mfg Michael

eXistenZ aktiv_icon

18:50 Uhr, 25.10.2011

Mooooooment

=)

Doch doch... ich sehe gerade das haben wir schon in der Vorlesung gemacht, aber jap, wie du siehst habe ich das nicht verstanden, sonst wüsste ich was du damit meinst

=)

Ok ich schau mir das jetzt noch einmalan und versuche es zu verstehen

EDIT: Ich verstehe gerade nicht wie ich das auf eine abbildung anwenden kann.

Wir haben in etwa das gleiche aufgeschrieben wie du.

Sei

G

eine "endliche" Gruppe,

g \in G

Dann existiert ein kleinste natürliche Zahl

n \geq 1

mit

g^{n} = e

Und

Die Menge

{g^{0} = e, g^{1} = g, ... ... ..., g^{n - 1}

ist Untergruppe von

G, < g >

die von

g

erzeugte zyklische Untergruppe

Es ist

O (g) = | < g > | = \frac{n}{| G |}

Und das alles verstehe ich leider nicht, sprich kann es nicht wirklich auf abbildungen anwenden

gru0

Jens

michaL aktiv_icon

20:21 Uhr, 25.10.2011

Hallo,

ich verstehe nicht, was jetzt genau deine Frage ist.

Es ist doch egal, was die Elemente der Gruppe NOCH für eine Eigenschaft haben. Darum geht es doch. Das kann man ausblenden, es kommt nur daauf an, DASS es sich um eine Gruppe handelt. Oder worum geht es?

Mfg Michael

eXistenZ aktiv_icon

20:28 Uhr, 25.10.2011

hehe ok sry.

Du hast ja in 2 posts davor gemeint

"
Wenn du ein passendes Element

x

gefunden hast, bedenke, dass

x 2, x 3,

usw. ja eben falls in der Untergruppe sein müssen"

Und das verstehe ich nicht, auch habe ich das schon nicht in der vorlesung verstanden xD

Aber soweit ich das jetzt beurteilen kann, hat die Ordnung 3 nur eine untergruppe, ist das korrekt?

michaL aktiv_icon

20:33 Uhr, 25.10.2011

Hallo,

sie hat. Alle Elemente mit Ordnung 3 sind schon dort enthalten, folglich kann es keine weiteren Untergruppen geben.

Achtung: Die ganze Gruppe ist auch Untergruppe ihrer selbst.

Mfg Michael

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