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Tags: Gruppen, Untergruppen

 
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Tari Friend

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14:29 Uhr, 16.01.2019

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Sei U := {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R^5 | x1 = 3x2, x3 = 7x4}.

(a) Geben Sie eine Basis für U an.

(b) Erweitern Sie die Basis aus (a) zu einer Basis von R^5.

(c) Geben Sie einen Teilraum W von R^5 an, sodass R^5 = U ⊕ W gilt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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HAL9000

HAL9000

12:16 Uhr, 18.01.2019

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(a) Durch die Verknüpfung von x1,x2 sowie x3,x4 ist die Dimension von U um zwei niedriger als die von ℝ5, also genau 3.

Eine Möglichkeit für eine solche Basis: B={(3,1,0,0,0),(0,0,7,1,0),(0,0,0,0,1)}

(b) Die zwei Basisvektoren hier müssen bewirken, dass diese Verknüpfungen von x1,x2 sowie x3,x4 in U "aufgebrochen" werden, z.B. durch die Basisergänzung C={(1,0,0,0,0),(0,0,1,0,0)}.

(c) Da kann man doch gleich W=span(C) nehmen.
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godzilla12

godzilla12 aktiv_icon

15:16 Uhr, 18.01.2019

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Ich wüsste nicht, was deine Frage mit Untergruppen zu tun hat. Schau mal in Wiki, wie dert Begriff " Basis " definiert ist; dort findest du vier äquivalente:

1) eindeutig Erzeugendes
2) minimales Erzeugendes
3) linear unabhängiges Erzeugendes
4) maximal linear Unabhängiges


===========================


Alle Erläuterungen so wie Beweise auf Wiki - als Hausaufgabe bitte auswändig lernen.
Der allgemeinste Vektor in U hat die Form



    e→=(3x2x27x4x4x5)    (1)



Entscheiden wir uns für Unterpunkt 2; minimales Erzeugendes. Zunächst musst du " Erzeugendes " zeigen.
(e→ € U→e→ lässt sich ausdrücken als Linearkombination ( LK ) der Basis B des Hauptabteilungsleiters.
Und umekehrt liegt jede solche LK wieder in U . )
(D.h. U= Span(B))

Doch minimal ist nicht gleich minimal. Stell dir vor im ℝ ³ spannen die Vektoren e1,... ,e4710 die xy-Ebene auf; und e4711 ist identisch mit der z-Achse. Da kannst du ruhig e500 weg lassen. Aber e4711 nicht.
Aber obiges System ist auch nicht minimal.
Du hast also zu zeigen;

In der Basis B lässt sich e1→ nicht schreiben als LK von e2→ und e3→
e2→ lässt sich nicht schreiben als LK von e1→ und e3→
Und analog für e3→
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