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Untergruppen Verknüpfungstabelle Z mod 20

Universität / Fachhochschule

Tags: modulo

informatikstudent_123 aktiv_icon

16:58 Uhr, 26.11.2015

Hey Leute!
Ich sollte die Verknüpfungstabelle der Einheiten von

Z

modulo

20

aufstellen. Das klappte auch soweit.
Einheiten sind:

{1,3,7,9,11,13,17,19}

Die Tabelle lautet <Anhang Screenshot

1 >

Jetzt soll ich Untergruppen zweiter Ordnung bestimmen, doch ich werde nicht schlau aus Definitionen und dem Skript meines Professors, weil mir kein konkretes Beispiel vorbei liegt.

Folgende Definition: "Auch wenn eine Gruppe

G

zyklisch ist, bedeutet dies nicht, dass jedes Element die Gruppe erzeugt. Manche Elemente erzeugen auch echte Untergruppen von G."

Über Gedankenanstöße und Hinweise würde ich mich sehr freuen. Versuche mein bestes und rechne und rechne Aufgaben, aber Fragen kommen leider nun mal auf :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

17:30 Uhr, 26.11.2015

Kuck in Deine Tabelle und beantworte die Frage, welche Gruppe erzeugt das Element

9

informatikstudent_123 aktiv_icon

21:41 Uhr, 26.11.2015

(1,9), (3, 3), ..., (19, 11)

Und warum gerade die 9??

informatikstudent_123 aktiv_icon

22:49 Uhr, 26.11.2015

Ferner soll ich alle Linksnebenklassen der Untergruppe

U = {1,3,7,9}

von den Einheiten von

Z_{20}

angeben. Da hab ich auch überhaupt keinen Plan.. ich suche und google, aber es klappt nicht

: (

ledum aktiv_icon

01:14 Uhr, 27.11.2015

Hallo
di Frage war, welche Gruppe wird von 9 erzeugt, als Antwort stehen da lauter zahlenpaare???
erzeugen

{9,9}^{2,9}^{3,9}^{4}

usw.
Welche Elemente, also welche Untergruppe wird davon erzeugt? wievielt Elemente hat diese UG also welche Orden?
kannst du aufschreiben was eine Linksnebenklasse ist?
Gruss ledum

informatikstudent_123 aktiv_icon

22:04 Uhr, 29.11.2015

"Jetzt soll ich Untergruppen zweiter Ordnung bestimmen, doch ich werde nicht schlau aus Definitionen und dem Skript meines Professors, weil mir kein konkretes Beispiel vorbei liegt."

Wo kommt da die 9 her? hä?
Ich weiß nicht was ich hier machen soll und wo/wie ich anfangen könnte. Habe mir Definition der Ordnung durchgelesen, doch keinen plan wie das geht

ledum aktiv_icon

23:48 Uhr, 29.11.2015

Halo
eine Untergruppe ist

a)

eine Gruppe

b)

aus Elementen der Gruppe. Ordnung

2;

sie hat 2 Elemente- noch mal welche Elemente erzeugt

9,

in der Gruppe

mod 20

erzeugt werden die Elemente durch

9, 9 \cdot 9,9 \cdot 9 \cdot 9

usw
schrieb alle diese Elemente mal auf

(mod 20)

das produkt 2er Elemente aus der Gruppe muss wieder in der Gruppe liegen, ist das bei der durch 9 erzeugten Gruppe der Fall?
Ausser ddem skript deines Peofs, gibts seine Vorlesung und Bücher und was am besten ist Diskussion mit Kollegen!!
Gruß ledum

DrBoogie aktiv_icon

08:59 Uhr, 30.11.2015

9

war nur ein Beispiel.

11

und

19

passen auch.
Wegen

9^{2} = 1

(steht in der Tabelle), besteht die Gruppe

< 9 >

(die Gruppe, welche

9

erzeugt) nur aus zwei Elementen

9

und

1

, also hat die Ordnung

2

(zwei Elemente).
Ordnungen von

< 11 >

und

< 19 >

sind auch zwei.

Allgemein besteht die Gruppe

< a >

aus allen Potenzen (positiv wie negativ) von

a

< a > = {a, a^{- 1}, a^{2}, a^{- 2}, a^{3}, . . .}

, wobei im Fall von endlichen Gruppen diese Folge endlich ist (und alle negative Potenzen sich auch als positive Potenzen schreiben lassen). Für

a = 9

hast Du

9^{2} = 1

9^{3} = 9^{2} \cdot 9 = 9

9^{4} = 9^{2} = 1

usw., also alle Potenzen von

9

nehmen nur zwei Werte

1

und

9

, daher

< 9 > = {1, 9}

DrBoogie aktiv_icon

11:09 Uhr, 30.11.2015

Zu den Linksnebenklassen. Die Untergruppe

U = {1, 3, 7, 9}

ist etwas komplizierter ist als

< 9 >

. Denn

{1, 3, 7, 9}

wird von zwei Elementen erzeugt, von

3

und von

7

. Also man kann auch schreiben

{1, 3, 7, 9} = < 3, 7 >

. Eine von zwei Elementen

a, b

erzeugte Gruppe enthält alle Elemente der Form

a^{m} b^{n}

, mit

m, n \in Z

. In Deinem Fall sind es nur Elemente

1, 3, 7, 9

, weil

3^{2} = 9^{2} = 7^{2} = 1

und

3 \cdot 7 = 7 \cdot 3 = 1

3 \cdot 9 = 9 \cdot 3 = 7

7 \cdot 9 = 9 \cdot 7 = 3

.

Die Linksnebenklassen zu

U

sehen so aus:

L_{a} := {a b : b \in U}

.
Wenn z.B.

a = 13

, dann ist es die Menge

{13 \cdot 1, 13 \cdot 3, 13 \cdot 7, 13 \cdot 9} = {13, 19, 11, 17}

. Das machst Du dann für alle

a

aus der Gruppe. Manche Linksnebenklassen für verschiedene

a

's werden dann gleich sein.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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