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Untergruppen bestimmen

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Tags: Gruppen, Untergruppen

 
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Didgeridoo

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20:37 Uhr, 03.10.2010

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Ich muss alle Untergruppen von (ℤn,+) bestimmen. Eine habe ich schon gefunden: die geraden Zahlen, gibt es noch weitere? Wenn ja welche?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Online-Nachhilfe in Mathematik
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HP7289

HP7289 aktiv_icon

23:21 Uhr, 03.10.2010

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Das ist so nicht ganz richtig.

Nimm als Beispiel n=5, also die ℤ5.

Weißt du, was ℤn bedeutet?
Didgeridoo

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23:28 Uhr, 03.10.2010

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ℤn={[0],[1],[2],...[n-1]}
ℤ5={[0],[1],[2],[3],[4]}
[0]={...,-10,-5,0,5,10,...}
[1]={...,-11,-6,1,6,11,...}
[2]={...,-12,-7,2,7,12,...}
[3]={...,-13,-8,3,8,13,...}
[4]={...,-14,-9,4,9,14,...}
Stimmt das so?
Wie kommt man hier auf die Untergruppen?
Antwort
HP7289

HP7289 aktiv_icon

23:33 Uhr, 03.10.2010

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Das richtig so. Und wie du siehst, befinden sich in jeder Restklasse gerade und ungerade Zahlen.

Wenn du anfängst, nach Untergruppen zu suchen, dann kannst du ja mal bei den zyklischen (von einem einzigen Element erzeugten) Untergruppen anfangen.

Die Aufgabe, alle Untergruppen der ℤn für beliebige n zu finden, ist aber etwas, was man nicht mal so schnell nebenbei macht.

Sollst du das allein erarbeiten als Übungsaufgabe oder Seminarvortrag oder wofür brauchst du das?
Didgeridoo

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23:48 Uhr, 03.10.2010

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Vielen Dank. Aber was bedeutet genau eine Untergruppe, die von einem Element erzeugt wurde? Könntest du mir da vielleicht nicht ein Beispiel geben?

Das ist übrigens eine Übungsaufgabe in Linearer Algebra. Wenn ich das nicht hinbekomme, ist das auch nicht so tragisch, ich muss einfach 60% der Punkte erreichen.
Antwort
HP7289

HP7289 aktiv_icon

00:06 Uhr, 04.10.2010

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Die von einem Element erzeugte Untergruppe ist die kleinste Untergruppe, die dieses Element enthält.

Z.B.:ℤ6

Betrachte <[2]> die von [2] erzeugte Untergruppe.

[2] muss drin sein, das ist klar.

[2]+[2] muss auch drin sein, also [4].

[2]+[2]+[2]=[0] ist auch drin.

Das ist dann schon eine Gruppe, also <[2]>={  [0],[2],[4]  }.

Wie gesagt, braucht das Lösen dieser Aufgabe ein wenig Vorarbeit und Vorkenntnisse, die du wahrscheinlich noch nicht hast.

Möglicherweise hilft dir:

http//de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Gruppe

oder ein Lehrbuch oder ein Skript.
Frage beantwortet
Didgeridoo

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17:36 Uhr, 05.10.2010

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Vielen Dank, ich versuch' das mal!