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Untergruppen einer abelschen Gruppe
Universität / Fachhochschule
Algebraische Zahlentheorie
Tags: Algebraische Zahlentheorie
 
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Wir haben eine Untergruppe wie folgt definiert: Sei (G,⋆) eine abelsche Gruppe. Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn gilt: ii) für alle gilt iii) für jedes liegt auch das Inverse von in" Aufgabe ist nun: Sei eine abelsche Gruppe. Zeige: und sind Untergruppen von Ist eine endlich abelsche Gruppe und #G eine Primzahl, so sind und die einzigen Untergruppen von Meine Überlegungen: ist Untergruppe von ad Nunja, da das Neutrale Element in der Menge liegt kann ad ii) wie kann ich das ohne Rechenverknüpfung prüfen? Ich müsste ja eigentlich zeigen, dass beziehungsweise ⋅ oder ? ad iii) Für das Inverse des neutralen Elements müsste doch gelten e=e⋅e′=e′ und somit würde e′ in der Menge liegen ist Untergruppe von Da ja abelsch ist so muss doch auch alle Axiome einer Untergruppe erfüllen, oder? und sind die einzigen Untergruppen von Wie muss ich hier vorgehen um das zu zeigen? Einfach wieder die Axiome abarbeiten? Wie zeige ich, dass es die einzigen Untergruppen sind? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"wie kann ich das ohne Rechenverknüpfung prüfen? " Du hast sie doch. Sie heißt hier . Und Du weißt, dass . |
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also schreibe ich: ist Untergruppe von Da das neutrale Element in der Menge liegt gilt ii)Es gilt iii)Es gilt reicht meine Argumentation um zu zeigen dass Untergruppe von ist? |
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Ja, es reicht. Zu Sicherheit würde ich irgendwo schreiben, dass die Gruppe nur ein Element hat, daher muss man 2 und 3 nur für dieses ein Element prüfen. |
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Okay alles klar ! Vielen Dank dir! Jetzt nurnoch zu Also ich weiß jetzt und sind Untergruppen von G. Aber wie zeige ich hier, dass es die einzigen sind ? |
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Wenn eine Untergruppe von ein Element enthält, so ist die zyklische Gruppe ungleich , hat also Ordnung . Andererseits nach de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lagrange muss die Ordnung von die Ordnung von teilen. Wenn diese dann eine Primzahl ist, gibt's nur eine Möglichkeit. |
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Dank dir ! |
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