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Untergruppen von Z/4

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Gruppen

Tags: modulo, Untergruppen

Bibsel aktiv_icon

11:04 Uhr, 03.01.2014

Huhu,

Ich probier mich hier schon etwas länger an der Aufgabe und bin mir nicht sicher, ob meine Ansätze überhaupt richtig sind. Für jeden Tipp/ Verbesserungsvorschlag bin ich dankbar ;-)

Hier die Aufgabe:

a)

Listen Sie alle Untergruppen von

ℤ / 4

auf.

b)

Zeigen Sie, dass eine davon isomorph zu

ℤ / 2

ist.

c)

Listen Sie alle Untergruppen von

ℤ / 7

auf.

Eine Untergruppe definiert sich ja wie folgt:
1.

H

enthält das neutrale Element

e,

2. sind

h_{1}, h_{2} \in H,

so ist auch

h_{1} ⋆ h_{2} \in H

3. ist

h \in H,

so ist auch

h^{- 1} \in H

.

Soweit ist alles klar, problematisch wird's bei mir dann bei der Umsetzung (und der Schreibweise).

Meine Ansätze (für

a)) :

(1)

(ℤ, \cdot) = H = {1}

1. neutrales Element bei

\cdot

ist

1,

ist also gegeben,
2.

1 \in H, 1 \cdot 1 = 1 \in H,

ist auch gegeben,
3.

1 \in H

und

1^{- 1} = \frac{1}{1} = 1 \in H,

ist auch gegeben (oder wäre hier schon

1^{- 1} = 3,

da wir ja mit modulo 4 rechnen?)

(2)

(ℤ, +) = H = {0}

1. neutrales Element bei

+

ist

0,

ist auch gegeben,
2.

0 \in H, 0 + 0 = 0 \in H,

ist gegeben
3.

0 \in H, 0^{- 1} = 0 \in H,

ist gegeben.

(3)

(ℤ, +) = H = {0,1,2,3}

1. neutrales Element bei

+ = 0,

ist gegeben,
2.

0,1,2,3 \in H, 0 + 1 + 2 + 3 = 6 = 2 \in H

ist gegeben
3.

0 \in H

und

0^{- 1} = 0 \in H, 1 \in H

und

1^{- 1} = 3 \in H, 2 \in H

und

2^{- 1} = 2 \in H, 3 \in H

und

3^{- 1} = 1 \in H,

ist auch gegeben,

Nun meine Frage... Ist das soweit überhaupt ansatzweise richtig? Falls nein: wo könnte mein Denkfehler wohl liegen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

11:19 Uhr, 03.01.2014

Hallo,

grundsätzlich musst du dir erst einmal über die Verknüpfung klar werden.

(ℤ_{4}, \cdot)

bildet keine Gruppe, da modulo 4

2 \cdot 2 = 0

gilt.

Es geht also um die Addition.

Als nächstes solltest du geordneter vorgehen. Gibt es eine Untergruppe, die nur ein Element enthält? Wenn ja, welche?
Gibt es Untergruppen mit zwei Elementen? Usw.

Mfg Michael

Bibsel aktiv_icon

11:40 Uhr, 03.01.2014

Danke für die schnelle Antwort.
Gut, dann muss es also immer

(ℤ, +)

sein
eine Untergruppe mit keinem Element, also

{\emptyset}

gibt es nicht, da eine Untergruppe mindestens das neutrale Element

e

enthalten muss.

Lag ich mit

(ℤ, +) = H = {0}

denn richtig? Denn falls das schon falsch war, liegt mein Problem wohl doch etwas tiefer.

anonymous

12:14 Uhr, 03.01.2014

beachte doch den Tipp von MichaL

UG mit einem Element? - klar
UG mit zwei Ele? die 0 muss immer dabei sein - also wie viele Möglichkeiten?
führt jede dieser Mögl. zu einer UG? - nein: dann ist auch dieser Fall klar
Rest auch schnell klar
Wie viele UG gibt es also? Welche sind trivial, welche nicht?
Welche ist isomorph zu Z/2Z (besitzt also 2 Ele!) - gib den Iso an.
fertig

Bibsel aktiv_icon

14:25 Uhr, 03.01.2014

Versuch ich es noch einmal^^

ℤ / 4 = {0,1,2,3}

Da ich jetzt auch weiß, dass es sich nur um eine Addition handeln kann, steht als Gruppe

(ℤ / +)

fest.

Die Untergruppen lauten (meiner Meinung nach) wie folgt:

1.

H_{1} = {0}

weil das neutrale Element gegeben sein muss
2.

H_{2} = {0,2}

erfüllt auch die Bedingungen für eine Untergruppe
3.

H_{3} = {0,1,3}

H_{4} = {0,1,2,3}

Somit gibt es für

ℤ / 4

insgesamt 4 Untergruppen.

Und isomorph zu

ℤ / 2

müsste dann

H_{1}

sein, oder seh ich das falsch?

michaL aktiv_icon

15:01 Uhr, 03.01.2014

Hallo,

du musst natürlich in jedem Fall nachweisen, dass tatsächlich eine Untergruppe vorliegt. In den ersten beiden Fällen sollte das einfach sein. Zeig es doch mal für den dritten.

Mfg Michael

Bibsel aktiv_icon

15:10 Uhr, 03.01.2014

Auf meinem Blatt hatte ich es stehen, dachte nur, es wäre unnötig es nochmal aufzuschreiben (besonders, da ich mir ziemlich sicher war)

H_{3} = {0,1,3}

1. Bedingung: das neutrale Element

e

muss vorhanden sein

\to

in diesem Fall

0, 0 \in H_{3}

2. Bedingung: Sind

h_{1}, h_{2}, h_{3} \in H,

so ist auch

h_{1} + h_{2} + h_{3} \in H

0 + 1 + 3 = 4 = 0

und

0 \in H_{3}

3. ist

h \in H,

so ist auch

h^{- 1} \in H

0 \in H_{3}

und

0^{- 1} = 0, 0 \in H_{3}

1 \in H_{3}

und

1^{- 1} = 3, 3 \in H_{3}

3 \in H_{3}

und

3^{- 1} = 1, 1 \in H_{3}

daher sind für

H_{3}

alle Bedingungen für eine Untergruppe erfüllt

michaL aktiv_icon

15:35 Uhr, 03.01.2014

Hallo,

kannst du die Axiome für Untergruppen mal zitieren?!

Mfg Michael

Bibsel aktiv_icon

15:49 Uhr, 03.01.2014

Hallo,

natürlich:

"Definition

3.16

.
Sei

(G, ⋆)

eine Gruppe und sei

H \subset G

eine Teilmenge mit folgenden Eigenschaften:
1.

H

enthält das neutrale Element

(

in diesem Fall

0);

2. Sind

h_{1}, h_{2} \in H,

so ist auch

h_{1} ⋆ h_{2} \in H;

3. ist

h \in H,

so ist auch

h^{- 1} \in H

.

Dann heißt

H

Untergruppe von

G

anonymous

17:47 Uhr, 03.01.2014

H_3 ist doch wegen 3 + 3 = 2 bzgl. der Addition gar nicht abgeschlossen!

Bibsel aktiv_icon

17:54 Uhr, 03.01.2014

Daraus schließe ich, dass

H_{3}

wohl keine Untergruppe ist, jedoch finde ich in meinem Skript allgemein nichts zum Thema abgeschlossen...
Und da es nicht in der Definition steht, kann das doch eigentlich keine Rolle spielen?!

anonymous

17:57 Uhr, 03.01.2014

"abgeschlossen" bedeutet: die Verknüpfung zweier Elemente von M ist wieder ein Element von M (man gelangt also durch Verknüpfungen nicht "ausserhalb" von M)

Bibsel aktiv_icon

18:05 Uhr, 03.01.2014

Also mehr oder minder die 2. Bedingung: Sind

h_{1}, h_{2} \in H,

so ist auch

h_{1} ⋆ h_{2} \in H

?

Dass

3 + 3

dann nicht mehr in

H_{3}

liegt ist mir bewusst, jedoch wird das meines Verständnisses nach auch nicht verlangt. Es muss ja die Verknüpfung der Elemente aus

H

wieder in

H

sein und es kommt nur eine 3 vor...

Ich hab das so verstanden:
Jedes Element aus

H

muss mit einem anderen Element aus

H

zusammen wieder ein Element erzeugen, das in

H

ist.

0 + 1 = 1, 1 \in H;

0 + 3 = 3, 3 \in H;

1 + 3 = 4 = 0, 0 \in H;

und

0 + 1 + 3 = 4 = 0, 0 \in H

anonymous

18:10 Uhr, 03.01.2014

du verstehst das Wort "anderes (Element)" falsch: nirgendwo ist die Rede davon, dass man nur verschiedene Elemente miteinander verknüpft.

Notiere dir doch einfach mal die Verknüpfungstafel von (Z/4Z,+) - der Rest ergibt sich doch dann von selbst.

Bibsel aktiv_icon

18:29 Uhr, 03.01.2014

Ok, mein Fehler, in meinem Universum waren bis vor dem Studium

h_{1} \neq h_{2}

.

Unter der Berücksichtung der neuen Erkenntnis bleiben als Untergruppen noch:

H_{1} = {0}

also die triviale Gruppe;

H_{2} = {0,2}

und

H_{3} = {0,1,2,3}

mich irritiert grad nur, dass es keine Untergruppe mit 3 Elementen gibt.

(0,1,2)

können wir ausschließen, da

z . B

1 + 2 = 3

und somit

\notin H;

(0,1,3)

haben wir gerade ausgeschlossen,

(0,2,3)

geht auch nicht, da

z . B

2 + 3 = 5 = 1

und

1 \notin H

oder habe ich wieder einen anderen Denkfehler drin?

anonymous

18:33 Uhr, 03.01.2014

hier mal die Verknüpfungstafel

\begin{array}{ccccc}  \end{array}

+ | 0 | 1 | 2 | 3
0 | 0 | 1 | 2 | 3
1 | 1 | 2 | 3 | 0
2 | 2 | 3 | 0 | 1
3 | 3 | 0 | 1 | 2

ok - du hast also zwei triviale UGen und eine nichttriv. UG
... und jetzt gib noch den Iso an!

Bibsel aktiv_icon

18:41 Uhr, 03.01.2014

Also die Verknüpfungstabelle hab ich auch hier, das erleichtert es stark die Inversen zu finden.
Danke aber nochmal für's Abtippen ;-)

Eine Verständnisfrage: wieso habe ich denn nun zwei triviale und eine nichttriviale Gruppe, ich dachte, es sei genau umgekehrt. "Eine Gruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht, nennen wir triviale Gruppe."
Und das wäre ja dann

H_{1}

.

Wie genau ich das mit dem isomorphen machen muss, weiß ich leider nicht. Ich weiß nur, dass es eine bijektive Abbildung sein muss.
Und gilt das nicht nur für die triviale Gruppe

H_{1}

anonymous

18:49 Uhr, 03.01.2014

ich wollte damit nur sagen: wenn man UG´s sucht, dann sind sofort mal zwei klar:
die UG, die genau das neutrale Ele enthält, und die Gruppe selbst, die ja auch UG ist.

φ : (H_{2}, +) \to (Z / 2 Z, +)

0 \mapsto 0_{2}; 2 \mapsto 1_{2}

injektiv, surjektiv - klar. Homomorphismus? Nachprüfen.

Bibsel aktiv_icon

19:23 Uhr, 03.01.2014

Ich probier's mal (Gruppenhomomorphismus war nicht mein Lieblingsthema):
Definition:
Seien

(G, ⋆)

und

(H, \circ)

Gruppen. Eine Abbildung

f : G \to H

heißt genau dann Homomorphismus, wenn für alle

g_{1}, g_{2} \in G

gilt:

f (g_{1} ⋆ g_{2}) = f (g_{1}) \circ f (g_{2})

.

Wir haben ja nun die Abbildung:

f : (H_{2}, +) \to (ℤ / 2, +)

g_{1} = 0

und

g_{2} = 2

Fixiere ein

m

und setze

f_{m} : (G, ⋆) \to (H, \circ),

f_{m} (g_{1}) = m \cdot g_{1}

. Dann gilt für alle

g_{1}, g_{2} :

f_{m} (g_{1} + g_{2}) = m \cdot (g_{1} + g_{2}) = m \cdot g_{1} + m \cdot g_{2} = f (g_{1}) + f (g_{2})

Somit gibt es einen Gruppenhomomorphismus von

(H_{2}, +)

nach

/ ℤ / 2, +)

anonymous

19:37 Uhr, 03.01.2014

Ein Homomorphismus ist eine "strukturerhaltende" Abbildung.

du begibst dich in große Gefahr, wenn du die Definitionen stur auswendig lernst, ohne ihren Sinn zu verstehen.

@edit: deine 5. Zeile der letzten Antwort besagt doch folgendes:
du kannst erst verknüpfen und dann abbilden, du kannst aber auch erst abbilden und dann verknüpfen - es führt zu keinem Unterschied (so musst du das ohne formale Verrenkungen dir merken)

hier ist doch nur noch zu prüfen:

0 \mapsto 0_{2}; 2 \mapsto 1_{2}

0 + 2 = 2 : φ (0 + 2) = 1_{2}; φ (0) + φ (2) = 0_{2} + 1_{2} = 1_{2}

0 + 0 = 0 : φ (0 + 0) = 0_{2}; φ (0) + φ (0) = 0_{2} + 0_{2} = 0_{2}

2 + 2 = 0 : φ (2 + 2) = 0_{2}; φ (2) + φ (2) = 1_{2} + 1_{2} = 0_{2}

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19:42 Uhr, 03.01.2014

Wenn man es liest, ergibt es Sinn, aber allein wär ich nun in der Tat nicht drauf gekommen...
Ich danke euch beiden jedenfalls für die Hilfe!

Bibsel aktiv_icon

21:57 Uhr, 03.01.2014

Eine letzte Frage hab ich noch:

c)

war ja, dass man alle Untergruppen von

ℤ / 7

auflisten sollte.
Sehe ich es denn richtig, dass es nur zwei Untergruppen gibt?
einmal die triviale Gruppe:

H_{1} = {0}

und

H_{2} = {0,1,2,3,4,5,6}

keine andere "mögliche Untergruppe" erfüllt die Bedingungen...

anonymous

23:05 Uhr, 03.01.2014

korrekt.

Bibsel aktiv_icon

23:09 Uhr, 03.01.2014

Ah super, vielen Dank :-)

Schönes Wochenende!

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