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Untergruppennachweis

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Gruppen

Tags: Gruppen, Komplexe Zahlen, Untergruppe

Anes1710 aktiv_icon

07:35 Uhr, 20.11.2017

Hallo,
es geht um die Aufgabe:
Ich muss also die Untergruppemkriterien nachweisen:

1.
Es gibt ein neutrales Elemnent nämlich

(1,1)

.
2.

z_{1} = (a, b), z_{2} = (c, d) \in C^{\cdot} :

Dann ist auch

z_{1} \cdot z_{2} \in C^{\cdot}

Denn

| z_{1} | \cdot | z_{2} | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot \sqrt{c^{2} + d^{2}} =

| 1 | \cdot | 1 | = | 1 |

Stimmt das erstmal?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

08:22 Uhr, 20.11.2017

Hallo,
zu 1.: Das neutrale Element ist nicht

(1, 1)

. Schau nochmal genau hin.
zu 2. Du hast aus Versehen (?) immer

C

statt

E

geschrieben.
Dein Nachweis der Abgeschlossenheit ist so nicht OK; denn du musst doch

∣ z_{1} \cdot z_{2} ∣

dabei wirklich berechnen und nicht einfach nur behaupten, dass dieser Betrag = 1 ist.
Gruß ermanus

Anes1710 aktiv_icon

09:05 Uhr, 20.11.2017

1. Wäre es nicht

(1,0)

. Aber dann wäre auch

(0,1)

möglich, was der Eindeutigkeit widerspricht
2. Ich habe es aus Versehen verwechselt:(

Wie mache ich das genau. Soll ich|(a,b)*(c,d)| erst ausmultiplizieren?

ermanus aktiv_icon

09:17 Uhr, 20.11.2017

(1, 0)

ist richtig. Für

(0, 1)

gilt:

(0, 1) \cdot (0, 1) = (- 1, 0)

, das spricht ja nicht gerade
dafür, dass sich

(0, 1)

besonders neutral verhält ;-)
Zu 2: Ja, ausmultiplizieren ...

Anes1710 aktiv_icon

10:08 Uhr, 20.11.2017

1. Jetzr ist das klar:-)

2. Also |(a+bi)*(c+di)|=|ac+ibd

+

ibc-bd|=
|ac-bd+i(bd+bc)|=

\sqrt{{(a c - b d)}^{2} + {(b d + b c)}^{2}}

Ist das so richtig. Schaut zu kompliziert aus?

ermanus aktiv_icon

10:18 Uhr, 20.11.2017

Du hast dich leider verrechnet:

∣ (a + b i) \cdot (c + d i) ∣ = ∣ a c - b d + i (a d + b c) ∣ = \dots

.
Das sieht dann auch genauso kompliziert aus ;-).
Du musst dann aber die Klammern ausmultiplizieren und zum Schluss

a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2} = 1

nutzen.

Anes1710 aktiv_icon

10:30 Uhr, 20.11.2017

Danke:-)

Ok dann mach ich weiter:

\sqrt{{(a c - b d)}^{2} + {(a d + b c)}^{2}}

= \sqrt{a^{2} c^{2} - 2 a c b d + b^{2} d^{2} + a^{2} d^{2} + 2 a d b c + b^{2} c^{2}}

= \sqrt{a^{2} (c^{2} + d^{2}) + b^{2} (c^{2} + d^{2})} =

\sqrt{a^{2} + b^{2}} = | 1 |

. So dann?

Jetzt fehlt mir noch die 3. Eigenschaft. Ich brauche zu jedem element ein Inverses.
Wäre das dann zu jedem

(a, b)

das Inverse

(\frac{a}{a^{2} + b^{2}}, - \frac{b}{a^{2} + b^{2}} = (a, - b)

ermanus aktiv_icon

10:36 Uhr, 20.11.2017

Ja, genau so :-)
Das Inverse stimmt auch !

Anes1710 aktiv_icon

10:37 Uhr, 20.11.2017

Juhu danke. Das wären dann alle Eigenschaften oder?

ermanus aktiv_icon

10:39 Uhr, 20.11.2017

Jawoll :-)

Anes1710 aktiv_icon

10:42 Uhr, 20.11.2017

Ich danke dir und wünsche dir noch einen schönen Tag:-)

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