Untermanigfaltigkeit prüfen / bestimmen

Hallo,

ich sitze gerade an folgender Aufgabe und weis nicht so recht weiter.

Ich soll alle reellen c bestimmen, f?r die ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}\left(\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$, mit

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:{\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\to \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\frac{1}{2}{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ eine eindimensionale Untermanigfaltigkeit des${\displaystyle {\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$ ist.

Habe mir ?berlegt, da zuerst irgendwie mit dem Satz ?ber implizite Funktionen ranzugehen?!

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}\left(\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\left\{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\in {\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2:\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right\}}$

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}):=\frac{1}{2}{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)-\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Dann ist ${\displaystyle \frac{\partial \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\partial \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ aber das bringt mich nicht wirklich weiter. W?re super wenn mir jemand helfen k?nnte.

Vielen Dank, lg

Hey,

das mit den regulären Wert war ein guter Ansatz denke ich, wir hatten den Satz auch in der Vorlesung.

In diesem Fall ist c ein regulärer Wert, genau dann wenn der Gradient ${\displaystyle \mathrm{\Delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)}$ an der Stelle c gleich Null ist, d.h. sin c1 = 0 und c2=0.

D.h. alle c mit c1 ungleich ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und c2 ungleich 0 sind reguläre Werte.

Ist das soweit korrekt überlegt?

Also den Gradienten habe ich doch eig richtig bestimmt. Und dann ist ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}\left(\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ genau dann eine Untermanigfaltigkeit wenn ${\displaystyle \nabla \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\ne 0}$ ist, wobei das x aus dem Urbild stammt. Also besteht die Untermanigfaltigkeit aus allen Vektoren die entweder sin x oder y = 0 gilt?

So meinte ich das eigentlich also die erste Komponente sin x ist ja gleich 0 wenn x ein ganzzahliges Vielfaches von pi ist (oder eben 0) und die zweite Komponente ist nur für y=0 Null. Und alle (x,y) die das erfüllen sind eben keine regulären Werte.

Aber wie kann ich "alle c" jetzt explizit angeben?