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Untermannigfaltigkeit des R^2

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Impliziete Funktionen, Maßtheorie, Untermannigfaltigkeit

 
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Clmxz

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00:08 Uhr, 22.01.2020

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Hallo, Ich versuche folgendes herauszufinden:
Für welche a>0 ist Ma:=[(x,y)R2|(x2+y2)2-2x2+2y2+1=a]
eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des R2?
Meine Idee :

Sei F(x,y)=(x2+y2)2-2x2+2y2+1-a, zz. 0 ist ein regulärer Punkt von F,
Dann müsste nach dem Satz der implizieten Funktionen Ma eine Untermannigfaltigkeit sein .
d.h die Jacobimatrix müsste Rang 1 besitzen .
diese sieht folgendermaßen aus :DF(x,y)=(4x(x2+y2-1),4y(y2+x2+1))
mit rang DF(x,y)=1
Da unser a in den partiellen Ableitungen verschwindet müsste es doch garnicht von a abhängen
ob Ma eine Untermannigfaltigkeit des R2 ist ?
Bitte um Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
ermanus

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08:57 Uhr, 22.01.2020

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Hallo,
es hängt sehr wohl von a ab, ob der Nullpunkt
in der Menge Ma liegt oder nicht.
Es gibt übrigens drei Punkte, in denen der Gradient
verschwindet. Dennoch ...
Gruß ermanus
Clmxz

Clmxz aktiv_icon

13:09 Uhr, 22.01.2020

Antworten
Der Nullpunkt sollte bloß für a=1 in der Menge Ma liegen .
okay , kannst du mir ein wenig auf die Sprünge helfen?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:16 Uhr, 22.01.2020

Antworten
DF(x,y)=0 hat die drei Lösungen (0,0),(1,0),(-1,0).
Wegen a>0 liegen die beiden letztgenannten aber nicht in Ma.
Die einzige nichtreguläre Kurve (Nichtmannigfaltigkeit) ist also Ma für a=1,
wie du selbst ja auch gerade festgestellt hast.