Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Untermannigfaltigkeit zeigen

Untermannigfaltigkeit zeigen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

SonyPB aktiv_icon

19:23 Uhr, 17.11.2018

Hallo!

Leider habe ich Verständnisprobleme bei folgender Aufgabe:

f (x, y) := x ² + y ²

Zeigen Sie, dass

M := N_{f} (1) = {(x, y) \in ℝ ² : f (x, y) = 1}

eine Untermannigfaltigkeit des

ℝ ²

ist und bestimmen Sie die Dimension der Untermannigfaltigkeit.

Mein Problem ist nun, dass ich keine offene Menge finden kann, die auf

M \cap U (x, y)

für alle

(x, y) \in M

homöomorph abbildet.

Für jede Hilfe bin ich natürlich sehr dankbar!

Beste Grüße

Sony

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

SonyPB aktiv_icon

20:12 Uhr, 17.11.2018

Ich hatte mir als Lösungsansatz überlegt, dass ich eine identische Menge

M

in leicht abgewandelter Form definieren kann:

g (x, y) = x ² + y ² - 1

M := N_{g} (0) = {(x, y) \in ℝ ² : g (x, y) = 0}

.

Nach dem "Satz über implizite Funktionen" finde ich dann eine steig differenzierbare Abbildung

h : V \to W

mit den offenen Umgebungen

V := U (x) \subseteq ℝ

und

W := U (y) \subseteq ℝ

, für die gilt:

M \cap V \times W = {(x, y) \in V \times W : y = h (x)}

.

Damit wäre eine hinreichende Bedingung für eine Untermannigfaltigkeit der Dimension 1 erfüllt.

Könnte man das auf diesem Weg beweisen?

Mein Problem dabei ist nur, dass ich in der Aufgabe auch beweisen soll, dass

M

ℝ

und

[0, 1]

nicht homöomorph ist. Nach meinem Beweis müsste

M

aber genau diese Bedingung erfüllen. Kann mir jemand bitte sagen, wo mein Fehler liegt? Hängt das evtl. mit der Abgeschlossenheit von

M

zusammen? Ich verstehe nicht wie ich beweisen kann, dass

M

nicht homöomoroph zu

ℝ

und

[0, 1]

ist, ohne meinen obigen Beweis zu negieren.

Beste Grüße

Sony

korbinian aktiv_icon

19:05 Uhr, 19.11.2018

Ist hinfällig

SonyPB aktiv_icon

22:47 Uhr, 19.11.2018

Was soll das heißen?

ermanus aktiv_icon

11:44 Uhr, 20.11.2018

Hallo,
du könntest auch mit Karten arbeiten, siehe
de.wikipedia.org/wiki/Untermannigfaltigkeit_des_Rn

Wenn du den Satz über implzite Funktionen benutzen willst,
musst du vermutlich - bin da kein Spezialist - noch irgendwelche
Eigenschaften von

h

, z.B. Injektivität herleiten/fordern ?
Deine Kreislinie

M

ist dann lokal (!) homöomorph zu offenen,
beschränkten Intervallen. Daraus folgt aber nicht, dass die Kreislinie
als Ganzes homöomorph zu einem Intervall wäre. Der von dir
"befürchtete" Widerspruch tritt also gar nicht auf.
Hast du denn eine Idee, wie du das Nichthomöomorphsein zu

ℝ

und

[0, 1]

beweisen könntst?

Gruß ermanus

SonyPB aktiv_icon

12:19 Uhr, 20.11.2018

Vielen Dank für Deine Hilfe!

Nach dem "Satz über implizite Funktionen" müsste

h : V \to W

eigentlich automatisch bijektiv und stetig differenzierbar sein. Die Voraussetzung ist, dass

g (x_{i}, y_{i}) = 0

für ein bestimmtes

(x_{i}, y_{i}) \in V_{i} \times W_{i}

(wobei

V_{i}, W_{i}

offene Umgebungen sind) und

\frac{\partial g}{\partial y} (x_{i}, y_{i})

invertierbar in

(x_{i}, y_{i})

ist. Demnach müsste man den Satz eigentlich anwenden können.

Wie ich beweisen soll, dass

M

nicht homöomorph zu

ℝ

und

[0, 1]

ist, weiß ich nicht.

Beste Grüße

Sony

ermanus aktiv_icon

12:27 Uhr, 20.11.2018

Ja, damit wäre die Gutartigkeit der

h

's wohl hinreichend geklärt
und der Satz liefert dir dann den Nachweis der Untermannigfaltigkeit.
Zu den Nichthomöomorphien:
Kennst du den Satz, dass das stetige Bild einer kompakten Menge kompakt ist?

SonyPB aktiv_icon

14:13 Uhr, 20.11.2018

Vielen Dank!

Daran habe ich überhaupt nicht gedacht! Aber wie kann ich den "Satz über Kompaktheit und Stetigkeit" auf

[0, 1]

anwenden?

Beste Grüße

Sony

ermanus aktiv_icon

14:55 Uhr, 20.11.2018

Ja, leider kann man das Argument der kompakten Bilder im Falle

[0, 1]

nicht verwenden :(
Aber nehmen wir doch mal an

f : M = S^{1} \to [0, 1]

wäre ein Homöomorphismus.
Sei nun

p \in S^{1}

ein beliebiger Punkt der Kreislinie.
Dann wäre die Restriktion

f ∣_{S^{1} \ {p}} : S^{1} \ {p} \to [0, 1] \ {f (p)}

bijektiv und stetig.
Nun ist

S^{1} \ {p}

zusammenhängend und das stetige Bild einer zusammenhängenden
Menge ist wieder zusammenhängend, also muss

[0, 1] \ {f (p)}

zusammenhängend sein.
Was kannst du dann über

f (p)

sagen?

Gruß ermanus

SonyPB aktiv_icon

15:07 Uhr, 20.11.2018

Dann gilt

f (p) \notin [0, 1]

.

Herzlichen Dank für Deine Hilfe! Das hat mir wirklich sehr geholfen! Den Zusammenhang zur Kompaktheit hätte ich eigentlich sehen müssen, aber auf den Kniff mit

S ¹ \ (p)

wäre ich wahrscheinlich nicht gekommen!

Danke!

Beste Grüße

Sony

ermanus aktiv_icon

15:10 Uhr, 20.11.2018

Nein, ganz so ist das nicht, sondern du bekommst,
dass

f (p) \notin (0, 1)

ist, also

f (p) = 0

oder

f (p) = 1

sein muss.
Da aber

p

beliebig ist, folgt dann insgesamt

f (M) \subseteq {0, 1}

.
Ein solches

f

ist ja offenbar weder injektiv noch surjektiv.

SonyPB aktiv_icon

15:16 Uhr, 20.11.2018

Aha!

Vielen Dank!

1448219

1447579

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?