Unterräume

Die Erklärungen muss ich selbst noch rausfummeln, aber mal so auf die Schnelle:
Nur Ursprungsgeraden können Unterräume sein, da der Nullvektor eine Bedingung für einen Unterraum ist. Daher:

a) Unterraum, da Ursprungsgerade
b) kein Unterraum, da s.o.

c) Bin ich mir auch nicht sicher, da der Punkt ja im Grunde auch als der Nullvektor beschrieben werden kann. Denkbar wäre es als kleinster aller möglichen Unterräume, aber das bezweifle ich auch irgendwie. Ist also nur ein Gedanke, kann ebenso anders sein ;)

d) Müsste ein Unterraum sein, da Schnittmengen von Unterräumen immer wieder Unterräume ergeben. In diesem Sinne: ${\displaystyle {\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{+}\in \{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{+}\cap {\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{+}\}}$

soviel erstmal

Gruß, JJ

Also, jetzt nochmal im Detail.

Definiert sind Unterräume im einzelnen durch:

Sei V ein Körper-Vektorraum, dann ist seine nichtleere Teilmenge U ein Untervektorraum, wenn gilt:

${\displaystyle \forall \mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ; ${\displaystyle \forall \mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

sowie sich daraus ergebend: Inverses Element und Nullvektor sind Elemente von U.

Was a) und b) angeht, stimmt die obige Erklärung mit der Ursprungsgeraden. Da Ursprungsgeraden sowohl den Nullvektor enthalten, als auch die geforderten Axiome erfüllen.

c) Hab ich jetzt nochmal nachgeschaut. Der Nullvektor ist tatsächlich als kleinster denkbarer Untervektorraum definiert. Begründen würde ich es sowohl damit, dass er trivialer weise eine echte Teilmenge seiner selbst bildet, als auch damit, dass die oben genannten Axiome auf ihn anwendbar sind.

d) Da sowohl die x-Achse, als auch die y-Achse Unterräume der Dimension ${\displaystyle {\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^1}$ darstellen, also lineare Unterräume sind (sie enthalten ja schließlich den Nullvektor und sind addier- bzw. multiplizierbar, sodass das Ergebnis stets in der Menge ihrer eigenen Punkte liegt), bildet auch ihr Schnittmenge, wie bereits erwähnt, wieder einen Unterraum. Da die Schnittmenge der postiven Abschnitte beider Achsen die Menge aller Punkte darstellt, die beide postive Koordinaten haben, ist die Bedingung erfüllt.

Was die Begrifflichkeit mit Punkten und Vektoren angeht, so kannst du ja jeden Punkt als Ortsvektor darstellen. In c) zum Beispiel besonders gut mit dem Nullvektor. a) und b) beschreiben Geraden, also im Prinzip lineare Vektorräume; ausserdem kann ja jede beliebige Gerade als Produkt von Vektor und Skalar dargestellt werden. Selbiges gilt für d) als Schnittmenge zweier linearer Vektorräume.

Hoffe es stimmt alles und hilft weiter,

Gruß JJ