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Unterraum, Bild und Kern bestimmen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: Bild, Homomorphismus, Kern, Linear Abbildung, Unterraum, Vektorraum

Rebius aktiv_icon

19:43 Uhr, 09.02.2016

Sei

V

der Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad

\leq 3

V = {a 0 + a 1 x + a 2 x^{2} + a 3 x^{3} : a 0, a 1, a 2, a 3

elemente von

ℝ}

a)

Man beweise, dass die Menge

W = {φ

element von

V : φ (1) = φ (- 1) = 0}

ein Unterraum von

V

ist, und man bestimme seine Dimension.

b)

Sei

f : V \to ℝ^{3}

gegeben durch

f (φ) = {(φ (2), φ (0), φ (- 2))}^{T}

Man beweise, dass

f

ein Homomorphismus ist, und man berechne Kern

f

und Bild

f

.

Leider habe ich keine Ahnung was ich machen soll

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

19:57 Uhr, 09.02.2016

Hallo
Welche Axiome muss denn ein UVR erfüllen? die musst du einfach nachrechnen,

a)

liegt die 0 darin

b)

liegt mit

φ

auch

α \cdot φ

drin.

c)

liegt mit

φ

und

ψ

auch die Summe drin.
zum zweiten Teil, schlag nach was die Definition von Homomorphismus ist und rechne es einfach nach.
was Kern und Bild sind ist dann nicht schwer.
Gruß ledum

Rebius aktiv_icon

20:23 Uhr, 09.02.2016

Mein Problem ist, dass ich nicht weiss wie ich das nachrechnen soll. Was genau ist das

φ

eigentlich?

ledum aktiv_icon

12:10 Uhr, 10.02.2016

Hallo

φ

sind die Elemente von

V

also die Polynome

\leq

3.ten Grades.
mit

f

werden die Pölynome auf

ℝ^{3}

abgebildet, indem die Komponenten in

ℝ^{3}

aus den Werten der Polynome an den Stellen

2,0, - 2

eingesetzt werden. die 2 te Komponnent ist also immerx_2=

a_{0}

die erste

x_{1} = a_{0} + 2 a_{1} + 4 a_{2} + 8 a_{3}

die dritte überlasse ich dir.
Gruß ledum

Rebius aktiv_icon

11:54 Uhr, 11.02.2016

Also zum Teil

a)

Ich hab das

φ (1) = φ (- 1) = 0

gerechnet und kam auf folgendes: Gleichung I:

φ (1) = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 = 0,

Gleichung II:

φ (- 1) = a 0 - a 1 + a 2 - a 3 = 0,

II: nach

a 2

aufgelöst

a 2 = a 1 + a 3 - a 0

II: in I: eingesetzt:

2 a 1 + 2 a 3 = 0 \Rightarrow a 1 = - a 3

oder bzw.

- a 1 = a 3

Jetzt weiss ich aber nicht, was ich mit dem Resultat anfangen soll, ist hiermit der Nullvektor im UVR bewiesen?
Teil

b)

Kern(f) wenn jede Abbildung aus

V \to ℝ^{3}

im Nullvektor landet: folglich ist

(φ (2), φ (0), φ (- 2)) = (0,0,0)

daraus folgt

a 0 = 0

und es bleiben in dem Fall 2 Gleichungen I:

2 a 1 + 4 a 2 + 8 a 3 = 0

und II:

- 2 a 1 + 4 a 2 - 8 a 3 = 0,

I:+II: ergibt

8 a 2 = 0 \Rightarrow a 2 = 0

Das ganze in I: eingesetzt mit

a 3 = λ : 2 a 1 + 8 λ = 0

also ist

a 1 = - 4 λ

Also hab Ich

λ (- 4 x + x^{3}),

Kern(f)

= (- 4 x + x^{3}), dim

Kern(f)

= 1

?
Dimensionsformel

dim V = dim

Kern(f)+ dim Bild(f)

\Rightarrow 4 = 1 + dim

Bild(f)

\Rightarrow dim

Bild(f)

= 3

ledum aktiv_icon

22:38 Uhr, 11.02.2016

Hallo

φ = 0

ist ein sehr einfaches polynom mit

φ (1) = φ (- 1) = 0

die summe von 2 solchen Polynomen hat wieder die Eigenschaft und

r + φ

auch also ist es ein UVR.
da du 2 Bedingungen hast

a_{0} + a_{2} = 0

und

a_{1} + a_{3} = 0

ist die Dimension

4 - 2 = 2

.
dein

b

ist richtig., wenn dim(Bild=3 ist das Bild ganz

ℝ^{3}

Gruß ledum

Rebius aktiv_icon

16:57 Uhr, 14.02.2016

Ich habe noch ein Problem mit der richtigen Notation und überlege mir gerade wie ich das korrekt aufschreiben würde:

Zum Teil

a)

1) φ (1) = φ (- 1) = 0 \Rightarrow 0 \in W \Rightarrow W

ist nicht-leer

2) x 1, x 2 \in W : x 1 + x 2 \in W, d . h

φ (x 1 + x 2) = φ (x 1) + φ (x 2)

φ (1 + (- 1)) = φ (1) + φ (- 1) = 0 + 0 = 0 \Rightarrow x 1 + x 2 \in W

3) λ \in ℝ, φ (λ x) = λ φ (x) = λ \cdot 0 = 0 \Rightarrow λ x \in W

\Rightarrow W

ist UVR von

V

z . Z . : dim (W),

a 1 + a 3 = 0 = a 0 + a 2, d . h

. zwei unabhängige variablen

\Rightarrow dim (W) = 2

Falls etwas nicht stimmt, wäre ich froh eine Antwort in korrekter Notation zu bekommen.

Rebius aktiv_icon

17:48 Uhr, 14.02.2016

Zum Teil

b)

Kern(f) berechnet in der anderen Antwort

= - 4 x + x^{3}

Bild(f) ist für mich immer noch ein Problem, Ich habe es nach der DrBoogie Anleitung mal Probiert, die ich bei einer ähnlichen Aufgabe bekommen habe:

Bild(f): Es existiert ein

φ = a 0 + a 1 x + a 2 x^{2} + a 3 x^{3} : φ (2) = a, φ (0) = b, φ (- 2) = c

Für alle

a, b, c \in ℝ^{3}

φ (0) = b, φ (x) = b + a 1 x + a 2 x^{2} + a 3 x^{3}

Dann habe ich wieder zwei Gleichungen
I:

a = b + 2 a 1 + 4 a 2 + 8 a 3

II:

c = b - 2 a 1 + 4 a 2 - 8 a 3

I+II:

a + c = 2 b + 8 a 2 \Rightarrow a 2 = \frac{1}{8} (a + c - 2 b)

Dann setze

a 3 = 0

(wurde so erklärt, da wir 2 Gleichungen und 3 Unbekannte haben),

a 2

eingesetzt in I:

a = b + 2 a 1 + 4 a 2

a 1 = \frac{1}{2} (a - b) - \frac{1}{4} (a + c - 2 b) \Rightarrow a 1 = \frac{1}{4} (a - c)

\Rightarrow p = b + \frac{1}{4} (a - c) x + \frac{1}{8} (a + c - 2 b) x^{2}

Hiermit soll der Bild(f) berechnet sein.

Homomorphismus weiss ich nicht genau wie angehen, Ich weiss das Gruppenhomomorphismus

f : G \to H

mit

(G, +)

und

(H, \cdot)

so geht, das für alle

a, b \in G

gilt:

f (a + b) = f (a) \cdot f (b)

. Wie das aber in VR geht weiss ich nicht. Ist Lineare Abbildung das gleiche wie Homomorphismus beim VR? Dann wäre zu zeigen, das

f (v + w) = f (v) + f (w)

und das

f (λ \cdot v) = λ \cdot f (v)

. Ist das aber nicht bereits bewiesen worden?

ledum aktiv_icon

13:42 Uhr, 15.02.2016

dein Teil

a)

ist ganz falsch, nicht

x_{1}, x_{2}

sind aus

W

sondern
du hast

z . B φ_{1}, φ_{2} \in W

d . h

für beide gilt die Bedingung. du musst zeigen dass sie dann auch für

r \cdot φ_{1}

und für

φ_{1} + φ_{2}

gilt.
die

φ

sind doch Polynome!
Kern hast du richtig
für das Bild ist es am einfachsten, eine Basis zu nehmen

1, x, x^{2}, x^{3}

und deren Bilder, das bestimmt die

A

. eindeutig. Das Bild von

f

liegt im

ℝ^{3}

ist also sicher kein Polynom!

z . B

ist

f (e_{1}) = {(1,1,1)}^{T}

Homomorphismus heisst hier einfach, dass die Abbildung linear ist. das musst du also zeigen!
Gruß ledum

Rebius aktiv_icon

15:18 Uhr, 15.02.2016

Ich hätte noch eine Frage zu dem

φ,

die Abbildung

f : V \to ℝ^{3}

ist definiert als

f (φ) = {(φ (2), φ (0), φ (- 2))}^{T},

ist also

φ 1 = φ (2), φ 2 = φ (0)

und

φ 3 = φ (- 2)

ledum aktiv_icon

16:44 Uhr, 15.02.2016

Hallo
wenn du den

ℝ^{3}

Vektor (\ph(1),\\phi_2,\phi_3)^T meinst ja, das steht ja in der Definition !
Gruß ledum

Rebius aktiv_icon

16:56 Uhr, 15.02.2016

Ich fragte wegen dem, ob ich dann den Homomorphismus so ausrechnen kann:

f (λ φ 1 + φ 2) = f (λ φ (2) + φ (0))

ledum aktiv_icon

17:49 Uhr, 15.02.2016

Hallo
so wie du es vorher definiert hast sind doch die

p h_{i}

die Komponenten des

ℝ^{3}

Vektors. du willst den Homomorph. von

f

zeigen!
was meinst du jetzt mit

φ_{1}

und

φ 2

? 2 verschiedene Polynome oder wie im vorigen post

p h_{1} = φ (2)

?
nimm lieber 2 Elemente von

V φ

und

ψ

sonst kommt man mit deinen verschiedenen Namen durcheinander, oder nenne

φ (2) = r_{1}

usw.
damit, dass du Vektoren im

ℝ^{3}

mit Komponenten die

φ

heissen benennst bringst du dich selbst offensichtlich durcheinander.
Hast du

a)

denn jetzt richtig?
Gruß ledum

Rebius aktiv_icon

18:14 Uhr, 15.02.2016

"was meinst du jetzt mit φ1 und φ2?"
Damit meine ich die

φ

von den vorherigen posts. Ich benutze eigentlich nur das, was in der Aufgabe gegeben ist.

a)

hab ich noch nicht, da ich immer noch am überlegen bin, was eigentlich mit dem

φ

passiert, deshalb wollte ich auch erst fragen, ob das mit dem

f (λ φ 1 + φ 2) = f (λ φ (2) + φ (0))

geht, oder ob das komplet falsch ist, die Idee war noch einmal das ich habe

f (φ) = {(φ 1, φ 2, φ 3)}^{T} = {(φ (2), φ (0), φ (- 2))}^{T}

und benutze die

φ 1

und

φ 2

um den Homomorphismus auszurechnen.
Ich hoffe das es jetzt klar ist was ich gemeint habe.

ledum aktiv_icon

12:23 Uhr, 16.02.2016

Hallo
du kommst dauernd mit den

φ

und dem

f

durcheinander.

φ

sind Polynome! die Elemente eines

4 d

Vektorraums

V

sind,

p h (2)

ist eine Zahl, die Auswertung des Polynoms an der Stelle

x = 2 φ (2)

ist also nicht ein Element von

V

nun ist eine Abbildung von

V

auf

ℝ^{3}

definiert mit

f (φ) = (/ φ (- 2), φ (0), φ {(2)}^{T}

also ist zB

f (x^{3}) = (- 8,0,8)

wie du den Homomorphismus aufschreibst ist völlig falsch!

f

wirkt nicht auf

φ_{1} = φ (2) f

wirkt auf Elemente von

V

unddein

φ_{1}

ist eine Zahl
Lass die ungünstige Definition deine

φ_{i}

fallen!!
wenn schon dann nenne

φ (2) = x_{1}, φ (0) = x_{2} p h (2) = x_{3}, x_{i} \in ℝ, {(x_{1}, x_{2}, x_{3})}^{t} \in ℝ^{3}

dann kommst du nicht in Versuchung

f

auf

x_{i}

anzuwenden.
aber warum solltest du den

φ (2)

usw denn einen neuen Namen geben??
seine

φ, ψ \in V,

dann

f (r \cdot φ) = r \cdot f (φ)

ausführen!
dann

f (φ + ψ) = f (φ) + f (ψ)

nachweisen, indem due die Def von

f

einsetzt.
Zu

a) φ (1) = φ (- 1) = 0

heisst

p h I : = a (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x - b), a, b \in ℝ

wenn man

φ

mit

r

multipliziert bleiben die Nullstellen erhalten, wenn man ein

φ

und

ψ

mit den Nullstellen addiert bleiben sie auch erhalten, das formaler hinschreiben!
Gruß ledum

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