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Unterraum und Basis der Spur einer Matrix

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Lineare Unabhängigkeit

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Vektorraum

Nasryn aktiv_icon

20:34 Uhr, 13.07.2017

Sei

M_{n n}

der V-Raum aller

n x n

Matrizen. Die Spur einer Matrix

A \in M_{n n}

ist gegeben durch
spur(A):=

\sum_{j = 1}^{n} a_{j j}

Sei nun

U

definiert durch

U := {A \in M_{n n} |

spur(A)

= 0}

a .)

Zeigen Sie:

U

ist Unterraum von

M_{n n}

b .)

Geben Sie für den Fall

n = 2

eine Basis für

U

an

Das ist die Aufgabe, ich möchte in diesem Forum meine Lösung überprüfen lassen, da ich nicht genau weiß ob meine Lösung richtig ist.

zu

a :

U \neq \emptyset \land \vec{0} \exists

A, B \in U \land λ \in ℝ

spur

(A + B) := \sum_{j = 1}^{n} a_{j j} + b_{j j} = \sum_{j = 1}^{n} a_{j j} + \sum_{j = 1}^{n} b_{j j} =

spur (A)

+

spur (B)

= 0 + 0 = 0

spur

(A λ) = \sum_{j = 1}^{n} a_{j j} λ = λ \sum_{j = 1}^{n} a_{j j} = λ

spur (A)

= λ \cdot 0 = 0

b :

(\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} \end{matrix}) = 0

mit

a_{1} + a_{4} = 0 \Rightarrow a_{1} = - a_{4}

(\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & - a_{1} \end{matrix}) = a_{1} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) + a_{2} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + a_{3} (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix})

\Rightarrow

B := {(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix})}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

14:56 Uhr, 14.07.2017

Grundsätzlich richtig.
In b) schreibst Du es zum Teil komisch auf, denn Matrix=0 zu schreiben ist falsch.

Nasryn aktiv_icon

15:02 Uhr, 14.07.2017

Wie schreibe ich es denn dann hin? Matrix

= \vec{0}

DrBoogie aktiv_icon

15:07 Uhr, 14.07.2017

Matrix ist doch gar nicht Null, nur ihre Spur ist Null.

Nasryn aktiv_icon

15:38 Uhr, 14.07.2017

Setze ich die Matrix nicht gleich null, um die Basis zu berechnen?

DrBoogie aktiv_icon

16:31 Uhr, 14.07.2017

Natürlich nicht. Wenn Du Matrix Null setzt, kommt auch nur die Null-Matrix raus.
Komisch, dass Du es nicht verstehst, denn sonst ist ja alles richtig bei Dir.
Setzen musst Du Spur(A)=0, nicht A=0.

Nasryn aktiv_icon

18:23 Uhr, 14.07.2017

Es ist mir nun auch klar geworden

. .

.

Nunja hauptsache ich habe es nun verstanden :-P) Danke dir aber für deine Hilfe :-)

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